mały|Przykład czworościanu mały|Inny przykład czworościanu Czworościan – wielościan o czterech trójkątnych ścianach, równoważnie definiowany jako ostrosłup trójkątny. Każda czworościan ma 6 krawędzi i 4 wierzchołkiJest to zgodne z twierdzeniem Eulera o wielościanach: χ = W – K + S = 4 – 6 + 4 = 2..
Szczególne przypadki czworościanów: ostrosłup trójkątny prawidłowy: co najmniej jedna ze ścian jest trójkątem równobocznym, a pozostałe są równoramienne, czworościan foremny: szczególny przypadek powyższego, w którym wszystkie ściany są równoboczne.
Uogólnieniem czworościanu na przestrzenie wielowymiarowe jest sympleks, przy czym czworościan jest jego przypadkiem trójwymiarowym (a np. trójkąt to przypadek dwuwymiarowy).
Objętość, gdy dane są długości krawędzi
Wzór na objętość zadany za pomocą długości krawędzi Jeżeli mamy dane długościach krawędzi czworościanu, takie że: – krawędzie wychodzące z jednego punktu (np. z początku układu współrzędnych) oraz – krawędzie, które nie mają punktów wspólnych odpowiednio z krawędzią lub , to jego objętość można wyznaczyć ze wzoru:
gdzie:
Wzór na objętość zadany za pomocą wyznacznika Jeśli czworościan – niekoniecznie foremny – ma wierzchołki to jego objętość jest dana wzorem:
gdzie – wyznacznik dany wzorem
przy czym oznacza długość krawędzi łączącej wierzchołek z wierzchołkiem
Powyższy wyznacznik można uprościć, przyjmując oznaczenia identyczne jak wyżej, tj. oraz tj.
Obliczenia numeryczne objętości
Obliczenia z wzoru bez wyznacznika Poniżej podano prosty kod w Python do obliczania objętości czworościanu o zadanych długościach krawędzi oraz – jak opisano to wyżej.
Uwaga: Jeżeli w wyniku otrzyma się liczbę zespoloną, to oznacza, że czworościan nie istniał (niewłaściwie dobrano długości krawędzi czworościanu i dlatego w linii kodu nr 14 liczony był pierwiastek z liczby ujemnej, co Python zwraca jako liczbę zespoloną). # Dane a = 1 b = 1 c = 1 x = 2**0.5 y = 2**0.5 z = 2**0.5
# Obliczenia X = b*b + c*c - x*x Y = a*a + c*c - y*y Z = a*a + b*b - z*z
V = (4*a*a*b*b*c*c - a*a*X*X - b*b*Y*Y - c*c*Z*Z-X*Y*Z)**0.5 / 12
print("V=", V)Przykłady obliczeń
(1) Jeżeli w programie zadamy , , to otrzymamy .
Poprawność obliczeń można w tym wypadku łatwo zweryfikować, gdyż czworościan ten jest ostrosłupem o podstawie (trójkąt prostokątny o bokach ) i wysokości ; objętość czworościanu wyliczymy z ogólnego wzoru na objętość ostrosłupa o danej wysokości, tj.
Oba wzory dają więc identyczne wyniki.
(2) Jeżeli w programie zadamy oraz (czworościan foremny), to otrzymamy
co jest zgodne z dokładna wartością obliczoną ze wzoru , gdzie .
Obliczenia za pomocą wyznacznika Poniżej podano kod w Python do obliczania objętości czworościanu o zadanych długościach krawędzi oraz – jak opisano to wyżej, przy czym użyto tu instrukcji np.linalg.det(M) , która wykorzystuje funkcję z biblioteki NumPy obliczającej wyznacznik macierzy (liang = linear algebra, det = determinant). Dodano też sprawdzanie, czy wyznacznik nie jest mniejszy niż zero, co oznaczałoby, że czworościan o podanych krawędziach nie istnieje.import numpy as np
def tetrahedron_volume(a, b, c, x, y, z): M = np.array([ [ 0, a**2, b**2, c**2, 1], [a**2, 0, x**2, y**2, 1], [b**2, x**2, 0, z**2, 1], [c**2, y**2, z**2, 0, 1], [ 1, 1, 1, 1, 0] ], dtype=float)
delta = np.linalg.det(M) # obliczanie wyznacznika
# Korekta drobnych błędów numerycznych if delta < 0 and abs(delta) < 1e-10: delta = 0
if delta < 0: raise ValueError("Podane długości nie tworzą czworościanu.")
return np.sqrt(delta / 288.0)
# Przykład: czworościan foremny o krawędzi 1 # tetrahedron_volume(a, b, c, x, y, z) V = tetrahedron_volume(1, 1, 1, 1, 1, 1) print(1/V) Promień sfery opisanej, gdy dane są długości krawędzi
Dla każdego czworościanu istnieje sfera opisana, tj. sfera do której należą wierzchołki czworościanu. Promień tej sfery dany jest wzorem
gdzie: – zmienna pomocnicza podana wyżej,
– długość krawędzi łączącej wierzchołek z wierzchołkiem
Promień sfery wpisanej, gdy dane są długości krawędzi Promień sfery wpisanej w czworościan dany jest wzorem
gdzie to pole ściany niezawierającej wierzchołka
Obliczenia pól powierzchni ścian. Ponieważ ściany są trójkątami, to ich pola można wyznaczyć ze wzoru Herona na podstawie długości boków tworzących daną ścianę. Np. niebieska ściana na rysunku
gdzie to połowa obwodu ściany, tj. . Pozostałe ściany mają pola dane wzorami (w indeksach boków ograniczających daną ścianę nie występuje indeks taki sam jak indeks ściany):
Uwaga: Ponieważ jest polem powierzchni całkowitej czworościanu, to promień sfery wpisanej wyraża się prostym wzorem
Inne własności mały|Przykładowe przekroje czworościanu z płaszczyznami – zacieniowane trójkąty
Kąt trójścienny oraz długości wychodzących z niego krawędzi wyznaczają jednoznacznie czworościan. Jeśli i i oraz i są punktami leżącymi parami na prostych zawierających ramiona kąta trójściennego o wierzchołku S, to objętości czworościanów i spełniają zależność:
Dowód tego faktu można przeprowadzić bez zmniejszenia ogólności zakładając, że jedna z par punktów leży na tej samej półprostej (ewentualna symetria środkowa względem S jednego z czworościanów), a nawet że jeden punkt jest wspólny (jednokładność jednego z czworościanów zmienia objętość jak sześcian skali). Wówczas czworościany mają wspólną wysokość i stosunek pól podstaw wynikający ze wzoru:
Uwagi
Przypisy
Zobacz też
czworościan foremny czworościan ścięty czworościan potrójny
Bibliografia
Linki zewnętrzne
Kategoria:Ostrosłupy Kategoria:Wielościany wypukłe