+Axiomas de separación en espazos topolóxicosT0T1T2T2½completamente T2T3T3½T4T5T6 En topoloxía un espazo T1 ou de Fréchet é un tipo particular de espazo topolóxico.

Definición Un espazo topolóxico é se para cada parella de elementos distintos , de existe un aberto que contén a e non a . Isto claramente implica que tamén existe un aberto que contén a e non a , xa que tamén se verifica para a parella , . Polo tanto, tamén se adoita definir como un espazo topolóxico tal que para cada parella de elementos distintos e de existe un aberto que contén a e non a e tamén existe un aberto que contén a e non a

Notar que non é necesario que estes dous abertos sexan disxuntos (se isto ocorrese para todo e , sería un espazo de Hausdorff ou ).

Propiedades Sexa un espazo topolóxico. Son equivalentes:

é un espazo . é un espazo . Para cada de , é cerrado. Todo conxunto dun único punto é a intersección das súas veciñanzas. Todo subconxunto de é a intersección das súas contornas. Todo suconxunto finito de é cerrado. Todo subconxunto cofinito de é aberto. O ultrafiltro principal de converxe soamente a . Para cada punto de e todo subconxunto de , é un punto límite de se e só se é un punto de acumulación de .

A propiedade de ser T1 é hereditaria, isto é, os subespazos dun T1 son tamén T1.

Nota e casos

Sexa (ℕ, T) onde Tx = {A ⊂ ℕ; x ∈ A e ℕ - A é finito}. Entón T é unha estrutura topolóxica sobre ℕ, chamada estrutura topolóxica cofinita que é T1 pero non T2.

Calquera espazo T1 finito é un espazo topolóxico discreto.

Sexa coa topoloxía formada polos subconxuntos de seguintes: , , , , . Non é T1 xa que non é cerrado.

Teorema Un espazo topolóxico é T1 se e só se cada punto é un conxunto cerrado.

Exemplos

A topología cofinita sobre un conxunto infinito é T1 pero non T2. O espazo topolóxico de Sierpinski é T0 pero non é T1.Ayala y otros: "Elementos de topología general" ISBN 84-7829-006-0

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos Axiomas de separación Espazo de Kolmogórov (T0) Espazo de Hausdorff (T2) Espazo completamente de Hausdorff Espazo regular (T3) Espazo de Tíjonov (T3½) Espazo normal

Ligazóns externas Propiedades dos espazos de Fréchet

Categoría:Topoloxía Categoría:Axiomas de separación