mały|Wykres przykładowej funkcji homograficznej: y = 1/x. Dla każdego niezerowego x liczba y przedstawia jego odwrotność.
Funkcja homograficzna, homografia – rodzaj funkcji matematycznych, definiowany różnie:
w sensie szerokim jest to każdy iloraz funkcji liniowych niebędący stałą:
gdzie współczynniki spełniają warunek Uniwersalna Encyklopedia PWN, Wydawnictwo Naukowe PWN SA, wydanie elektroniczne 2008, wersja 1.;
w sensie wąskim jest to iloraz funkcji liniowych niebędący funkcją liniową – dodatkowym warunkiem jest Gabriela Pendyk, Postać kanoniczna funkcji homograficznej, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-16]..
Powyższy wzór to postać ogólna homografii, a oprócz niej istnieje też postać kanoniczna:
Argumentami takich funkcji mogą być liczby rzeczywiste, inne liczby zespolone i elementy niektórych innych struktur algebraicznych nazywanych ciałami. Funkcji homograficznych używa się m.in. w kartografii i fizyce, np. mechanice płynów.
Homografie to przykłady funkcji wymiernych.
Podstawowe własności Dziedzina i zbiór wartości Dziedziną homografii może być podzbiór: liczb rzeczywistych: liczb zespolonych: dowolnego ciała gdzie gdzie
Dla ustalonej dziedziny zbiór wszystkich homografii rozumiany szeroko tworzy grupę przekształceń. W dziedzinie zespolonej homografie należą do przekształceń konforemnych.
Przypadek Funkcja homograficzna jest określona dla czyli poza miejscem zerowym mianownika, czyli dziedziną jest nie przyjmuje wartości czyli zbiorem wartości jest bo w przeciwnym razie spełniona byłaby równość
która jest sprzeczna z tym, że
Przypadek Funkcja homograficzna jest określona dla dowolnego przyjmuje dowolne wartości ciała
Różnowartościowość homografii Homografia jest funkcją różnowartościową niezależnie od ciała, w którym jest określona.
Istotnie, jeśli czyli
to
Po rozpisaniu obu stron, redukcji i zwinięciu wyrażenia dostajemy
a ponieważ więc
Przedłużenie homografii Jeśli powiększymy ciało o pewien element nazywany punktem w nieskończoności, to na zbiorze można przedłużyć funkcję homograficzną następująco: dla dla
Ponieważ jednocześnie dla dla
to homografia jest funkcją wzajemnie jednoznaczną.
Ciągłość homografii Jeśli lub to homografia jako funkcja wymierna jest funkcją ciągłą w swojej dziedzinie.
Po uzwarceniu ciała liczb rzeczywistych lub ciała liczb zespolonych punktem i przedłużeniu homografii na zbiory odpowiednio i zachodzą następujące zależności: dla dla
co oznacza, że homografia przedłużona jest także ciągła.
Oczywiście jest homeomorficzny z okręgiem, ze sferą.
Grupowe własności funkcji homograficznych Zbiór wszystkich funkcji homograficznych określonych w danym ciele (włączając przypadek ) tworzy grupę ze względu na składanie.
Rzeczywiście, jeśli
gdzie
to
gdzie
Czyli też jest homografią.
Homografia jest jednością (elementem neutralnym) tej grupy.
Dla homografii elementem odwrotnym jest homografia
Oznaczmy przez macierz złożoną ze współczynników homografii
Zauważmy, że warunek dla współczynników oznacza, iż jest macierzą nieosobliwą.
Zauważmy też, że współczynniki złożenia są elementami iloczynu macierzy
Można to symbolicznie zapisać
Oznacza to, że grupę homografii nad pewnym ciałem można zanurzyć w grupie nieosobliwych macierzy nad tym samym ciałem.
Możliwość skracania/rozszerzania ułamka definiującego homografię utrudnia ustalenie izomorfizmu – jednej homografii odpowiada cała klasa macierzy „proporcjonalnych” do siebie. Dla niektórych ciał znalezienie izomorfizmu jest jednak dość proste – dla ciała R wystarczy ograniczyć się do grupy macierzy o wyznaczniku równym 1 lub −1, natomiast dla ciała C wystarczy grupa macierzy o wyznaczniku 1.
Rozkład homografii Dla homografii, dla której dostajemy
Jest więc ona złożeniem kolejno poniższych funkcji: translacji: inwersji: jednokładność: translacja:
Jeśli zaś to natychmiast widać, że homografia jako przekształcenie liniowe jest złożeniem dwóch funkcji: jednokładności: translacji:
W języku macierzowym oznacza to, że każda macierz może być przedstawiona jako iloczyn macierzy postaci
Weźmy dwie dowolne homografie:
gdzie
Wówczas oznaczając dostaniemy:
czyli
gdzie h2, h1 są liniowymi funkcjami:
Jedną homografię można więc otrzymać z innej przemnażając (w sensie składania) lewostronnie i prawostronnie przez pewne funkcje liniowe. Przydaje się to przy budowaniu i analizowaniu wykresów.
Funkcja homograficzna jako przekształcenie rzutowe prostej Dowolne niezdegenerowane przekształcenie liniowe przestrzeni 2-wymiarowej nad dowolnym ciałem ma postać:
gdzie oraz są współrzędnymi odpowiednich wektorów w ustalonej bazie.
Istnieje odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna między zbiorem podprzestrzeni 1-wymiarowych w 2-wymiarowej przestrzeni liniowej a zbiorem punktów na prostej rzutowej (tak buduje się jeden z modeli dla geometrii rzutowej). Stąd wystarczy potraktować współrzędne wektorów w jakiejkolwiek bazie jako zapis współrzędnych punktów rzutowych w układzie współrzędnych jednorodnych.
Ponieważ
więc przechodząc od współrzędnych jednorodnych do zwykłych (tj. rzutowych) dostaniemy:
Czyli dostaniemy funkcję homograficzną w pewnym układzie współrzędnych rzutowych. Oznacza to, że homografia jest analityczną postacią przekształcenia rzutowego prostej rzutowej na siebie. Zauważmy jeszcze, że jeśli w tym układzie współrzędnych przyjmiemy to wyróżnimy grupę przekształceń afinicznych prostej rzutowej na siebie. Nie możemy jednak wyróżnić podobieństw i izometrii nie mając określonego iloczynu skalarnego.
Homografia jako funkcja zmiennej rzeczywistej Rozważając homografie jako funkcje zmiennej rzeczywistej wymagamy, aby współczynniki były liczbami rzeczywistymi.
Wykres thumb|400px|Rysunek pokazuje wykres typowej homografii. Szare linie symbolizują asymptoty wykresu. Wykres funkcji homograficznej jest przesunięciem równoległym pewnej hiperboli; posiada on dwie asymptoty: pionową i poziomą
Punkt to środek symetrii tego wykresu. Funkcja homograficzna jest monotoniczna na każdym z przedziałów oraz Jest ona przedziałami malejąca gdy oraz przedziałami rosnąca
Przesunięcie wykresu hiperboli Wykażmy, że wykres funkcji homograficznej gdzie oraz powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu pewnej hiperboli o pewien wektor. Zauważmy w tym celu, że dla wszystkich mamy
Zatem wykres funkcji powstaje w wyniku translacji hiperboli o równaniu
o wektor
Homografia jako funkcja zmiennej zespolonej Homografia określona w ciele liczb zespolonych C jest funkcją holomorficzną.
Użycie ciała C do wprowadzenia układu współrzędnych na płaszczyźnie (w uproszczeniu: ) dostarcza nowych faktów geometrycznych – homografia okazuje się być wówczas odwzorowaniem konforemnym, czyli równokątnym odwzorowaniem płaszczyzny na siebie (dotyczy to zresztą wszystkich funkcji holomorficznych w punktach, w których pochodna nie zeruje się).
Homografia wyróżnia się jeszcze jedną ciekawą własnością geometryczną – jest funkcją zachowującą okręgi, tzn. obrazem okręgu jest okrąg (za okręgi uznajemy także proste). W szczególności taką własność ma inwersja zespolona Geometrycznie zdefiniowaną inwersję otrzymujemy składając inwersję zespoloną ze sprzężeniem, czyli stosując funkcję
Homografia określona w ciele C nazywana jest także odwzorowaniem Möbiusa.
Przykłady i zastosowania Suma nieskończonego szeregu geometrycznego jest homograficzną funkcją ilorazu ciągu. Ułamek łańcuchowy to złożenie wielu, nawet nieskończenie wielu homografii. W optyce geometrycznej, zarówno katoptryce, jak i dioptryce, używane jest równanie zwierciadła lub soczewki. Odległość przedmiotu, odległość obrazu oraz ogniskowa są funkcjami homograficznymi siebie nawzajem. Efekt Dopplera, m.in. w optyce falowej i akustyce: przy ruchu źródła fali względem ośrodka zmiana długości fali oraz odbieranej częstotliwości jest homograficzną funkcją prędkości źródła. W szczególnej teorii względności Einsteina używany jest inny wzór na składanie prędkości niż w mechanice klasycznej. Prędkość w jednym układzie inercjalnym jest homograficzną funkcją prędkości w innym układzie.
Zobacz też Grupa modularna
Przypisy
Linki zewnętrzne
[dostęp 2025-10-22]. Fractional-linear function , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-10-06]. – animacja pokazująca przekształcenie Möbiusa generowane przez funkcję homograficzną w dziedzinie zespolonej
Kategoria:Geometria rzutowa Kategoria:Geometria konforemna Kategoria:Funkcje wymierne Kategoria:Powierzchnie Riemanna