mały|300px|Ilustracja twierdzenia – wszystkie trzy ciągi są zbieżne do tej samej granicy
Twierdzenie o trzech ciągach – twierdzenie matematyczne o niektórych ciągach. Jest to warunek wystarczający na to, żeby nieskończony ciąg liczb rzeczywistych był zbieżny.
Analogiczne twierdzenie zachodzi też dla niektórych innych funkcji rzeczywistych. Wtedy jest znane jest jako twierdzenie o trzech funkcjach Szymon Charzyński, Twierdzenie o trzech ciągach (funkcjach), kanał Khan Academy na YouTube, 22 marca 2014 [dostęp 2025-11-26]..
Twierdzenie Niech dane będą trzy ciągi liczb rzeczywistych: Jeśli jednocześnie: dla prawie wszystkich wyrazów tych ciągów, tzn. dla wszystkich większych od pewnego wskaźnika zachodzą nierówności ciągi zbiegają do tej samej granicy:
to wtedy także ciąg do niej zbiega: Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 1, wykład 4: Ciągi liczbowe, wazniak.mimuw.edu.pl, 11 września 2023 [dostęp 2024-07-09]..
Dowód Niech dany będzie Zbieżność ciągów oraz oznacza, że można wskazać takie, że dla dowolnego zachodzą nierówności oraz
Skąd na podstawie własności wartości bezwzględnej oraz
czyli oraz
Na podstawie powyższych nierówności i z założeń twierdzenia dla dowolnego zachodzi oszacowanie
które jest równoważne
co oznacza, że
Przykłady Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach można dowieść, że
Otóż dla dowolnego zachodzą oszacowania
Wzięcie granic skrajnych wyrazów przy daje gdyż jest ciągiem stałym równym oraz gdyż dla skąd na mocy twierdzenia również
Z dowodu twierdzenia o trzech ciągach wynika również, że jeśli granice dolna i górna ciągu są sobie równe, to dowolny jego podciąg jest zbieżny do tej granicy. Pociąga to za sobą zbieżność do danej granicy także całego ciągu.
Historia Twierdzenie to, w formie geometrycznej, stosowali już w starożytności Archimedes i Eudoksos. Obecną, ścisłą formę nadał mu Carl Friedrich Gauss.
Intuicyjność tego twierdzenia umożliwiła żartobliwe jego sformułowanie jako „twierdzenia o milicjantach”: jeśli idziesz między dwoma milicjantami zmierzającymi do tego samego komisariatu, to też tam zmierzasz.
Nazwa ta powstała w czasie stanu wojennego w Polsce, a dziś częściej mówi się o policjantach. Podobne nazwy występują w innych językach: po rosyjsku także odwołuje się do milicji – por. milicja w Rosji; po włosku twierdzenie nosi nazwę „twierdzenia o karabinierach”; po francusku zaś znane jest jako „twierdzenie o żandarmach”.
Zobacz też twierdzenie Toeplitza
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Twierdzenie o trzech ciągach, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-07-09]. Twierdzenia o trzech i o dwóch ciągach, Matematyka z ZUT-em, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 2024-07-09]. [dostęp 2024-07-08].
O Kategoria:Kryteria zbieżności