mały|Różnica zbiorów i oznaczona kolorem fioletowym.
Różnica zbiorów i – podzbiór zbioru złożony z tych elementów, które nie należą do oznaczany – ukośnikiem wstecznym, niekiedy także minusem: . Formalnie:
co jest równoważne ,
gdzie jest zbiorem wszystkich rozważanych elementów zwanym przestrzenią lub uniwersum.
Za pomocą różnicy zbiorów można zdefiniować dwie inne operacje: różnicę symetryczną i dopełnienie zbioru.
Przykłady Niech będzie zbiorem liczb wymiernych, a niech będzie zbiorem liczb rzeczywistych. Wówczas jest zbiorem liczb niewymiernych
Jeżeli a to
Własności Ogólne Różnica zbiorów: nie jest przemienna – w ogólności:
równość powyższych wyrażeń zachodzi tylko dla zbiorów identycznych:
nie jest łączna – w ogólności:
przykładowo:
ma jeden idempotent:
ma prawostronny element neutralny:
ma lewostronny element absorbujący:
Związki z inkluzją jest podzbiorem (czyli zbiór zawiera się w ) wtedy i tylko wtedy, gdy różnica jest zbiorem pustym:
Z inkluzji dwóch par zbiorów można wywnioskować inkluzję pewnych różnic:
Definicja przekroju mały|Diagram Venna przedstawiający prawostronną rozdzielność różnicy zbiorów względem ich sumy:
Za pomocą różnicy można zdefiniować także przekrój (część wspólną) zbiorów: . Dowód:
Prawa rozdzielności Różnica zbiorów jest prawostronnie rozdzielna względem sumy zbiorów:
Iloczyn kartezjański jest rozdzielny względem różnicy zbiorów Logika i teoria mnogości, Wykład 5: Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów, wazniak.mimuw.edu.pl, 28 września 2020 [dostęp 2023-09-07].:
Prawa De Morgana i dualności mały|300px|Ilustracja praw De Morgana dla dopełnień zbiorów
Różnica zbiorów nie jest rozdzielna lewostronnie względem sumy ani przekroju zbiorów, ale zachodzą podobne równości, zaliczane do praw De Morgana:
W teorii zbiorów i jej zastosowaniach ważną rolę odgrywa tak zwana zasada dualności, która jest oparta na dwóch następujących tożsamościach: Dopełnienie sumy zbiorów jest równe iloczynowi ich dopełnień:
Dopełnienie iloczynu zbiorów jest równe sumie ich dopełnień:
Zasada dualności w teorii mnogości polega na tym, że z dowolnej równości, dotyczącej podzbiorów ustalonego zbioru można całkiem automatycznie uzyskać równość dualną, zastępując wszystkie zbiory ich dopełnieniami, sumy – iloczynami, a iloczyny – sumami.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Szymon Charzyński, Różnica zbiorów, kanał „Khan Academy Po Polsku” na YouTube, 24 września 2013 [dostęp 2023-09-07].
Kategoria:Działania na zbiorach