mały|Potęgowanie przy różnych podstawach. Kolorem zielonym oznaczono potęgowanie przy podstawie 10, kolorem czerwonym przy podstawie logarytmu naturalnego, a niebieskim przy podstawie 1,7 Potęgowanie – typ funkcji dwóch zmiennych, różnie definiowanych w różnych kontekstach; w najprostszych przypadkach – kiedy drugim argumentem tej funkcji jest liczba naturalna – potęgowanie to wielokrotne mnożenie elementu przez siebie. Podstawowe pojęcia związane z tą operacją to: podstawa potęgi – potęgowany element; wykładnik – drugi argument, w najprostszym przypadku równy liczbie czynników w mnożeniu; potęga elementu – wynik potęgowania; kwadrat – druga potęga; sześcian – trzecia potęga.
Potęgę zwykle zapisuje się, pisząc wykładnik po prawej stronie podstawy w indeksie górnym; przykładowo jeśli podstawą jest liczba 3, a wykładnikiem – liczba 4, to pisze się: .
Nazwy drugiej i trzeciej potęgi nawiązują do geometrii, gdyż pole powierzchni kwadratu o boku długości wynosi , a objętość sześcianu o tym samym boku jest równa .
Dziedziną potęgowania mogą być rozmaite zbiory oraz inne klasy: podstawą potęgi może być element dowolnej klasy, w której określono mnożenie: liczba rzeczywista, jej uogólnienie jak liczba zespolona lub hiperzespolona, liczba kardynalna, porządkowa czy funkcja o wartościach w podanych zbiorach. W podstawie może się też znajdować macierz kwadratowa lub dowolny zbiór, ponieważ pewne działania na tych obiektach – niezwiązane wprost z arytmetyką – nazywa się odpowiednio mnożeniem macierzy oraz iloczynem kartezjańskim; wykładniki potęgi są już bardziej ograniczone; zawsze może nim być dodatnia liczba naturalna, a przy pewnych podstawach mogą nimi być także dowolne liczby rzeczywiste, liczby zespolone oraz kardynalne. W wykładniku może też pojawić się macierz kwadratowa (por. eksponenta macierzy) lub dowolny zbiór.
Jeśli klasy obu argumentów pokrywają się, to potęgowanie może być ściśle rozumianym działaniem dwuargumentowym, np. na zbiorze dodatnich liczb naturalnych. W tym ostatnim wypadku potęgowanie bywa uznawane za piąte działanie arytmetyczne i włączane w zakres arytmetyki elementarnej.
Za pomocą potęgowania definiuje się inne funkcje jak pierwiastkowanie, logarytmy, wielomiany, tetracja i inne działania, które opisuje notacja strzałkowa. Między innymi przez to potęgowanie jest używane w różnych działach matematyki jak teoria liczb, kombinatoryka, algebra, geometria – zwłaszcza analityczna i algebraiczna – oraz analiza i teoria mnogości.
Etymologia
Termin „wykładnik” (ang. exponent) wywodzi się z łacińskiego „exponentem”, czasownika w formie imiesłowu teraźniejszego, od „exponere”, co oznacza „wystawiać”. Termin „potęga” (łac. potentia, potestas, dignitas. ang. power) to błędne tłumaczenie starogreckiego słowa δύναμις (dúnamis, tutaj: „wzmacnianie”), używanego przez greckiego matematyka Euklidesa do kwadratu linii, naśladując Hipokratesa z Chios.
Definicje dla różnych przypadków Wykładnik naturalny Niech oraz . Potęgę definiuje się jako pomnożenie n takich samych elementów przez siebie, czyli
i czyta się go „ podniesione do -tej potęgi”, „ do -tej potęgi” lub nawet „ do -tej”. W szczególności
Dodatkowo przyjmuje się
Z definicji potęgi wynika, iż oraz dla dowolnego .
Z definicji wynika też , chociaż w niektórych działach matematyki wyrażenie jest traktowane jako niejednoznaczne (patrz oddzielna sekcja).
Potęgę naturalną można zdefiniować indukcyjnie
Definicję tę można wprowadzić w dowolnym monoidzie z mnożeniem ; może to być mnożenie liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych czy zespolonych, może to być składanie funkcji określonych na zbiorze.
Dla dowolnych zachodzą własności: Dowód: Dowód:
jest tu powtórzone krotnie. Ponadto dla grupy przemiennej: Dowód:
Jest tak, ponieważ gdy zamienimy mnożone liczby miejscami, to wynik się nie zmieni.
Wykładnik całkowity Niech . Definicję potęgowania można rozszerzyć na wykładniki całkowite:
niech , wówczas
Z definicji wynika, że dla zachodzi:
w szczególności .
Definicję można wprowadzić w dowolnej grupie, tzn. od elementu wymaga się, aby był elementem odwracalnym.
Dla zachodzą własności: ,
Ponadto dla grupy przemiennej , gdzie oznacza zdefiniowane w grupie dzielenie .
Wykładnik wymierny Niech . Definicję potęgowania można rozszerzyć na wykładniki wymierne. Niech oraz i przyjmując :
Dowód:
ponieważ to liczba która z definicji podniesiona do n-tej daje . Natomiast (patrz początek artykułu o potędze naturalnej: wynika z tego, że lewe strony obu równań są sobie równe, ponieważ podniesione do tej samej potęgi muszą dawać taki sam wynik).
W szczególności
W powyższych definicjach oznacza arytmetyczny pierwiastek z liczby dodatniej . Definicja jest poprawna i jednoznacznie określa potęgę, bowiem istnieje dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste dodatnie równania .
Dla zachodzą własności: , , , .
Wykładnik rzeczywisty Dla wykładników wymiernych potęgowanie można było traktować (o ile było wykonalne) jako złożenie potęgowania naturalnego (wielokrotne mnożenie), potęgi o wykładniku -1 (odwracania elementu) i odwrotności potęgi (pierwiastkowania). Definicja potęgowania dodatniej liczby rzeczywistej o wykładniku rzeczywistym jest nieco bardziej zawiła, gdyż liczba niewymierna nie może być uzyskana tą drogą.
Wystarczy jednak w niej uwzględnić, iż liczby rzeczywiste są możliwe do uzyskania jako granice ciągów liczb wymiernych (tzw. ciągi Cauchy’ego). Na podstawie powyższych rozważań zdefiniowana jest potęga dla nieujemnych oraz Jeżeli jest liczbą niewymierną, tzn. to wystarczy skonstruować ciąg liczb wymiernych o granicy w i przyjąć
Z własności granic tak określona potęga niewymierna istnieje i spełnia żądane wcześniej własności (1–6). Potęgę rzeczywistą można też równoważnie zdefiniować jako
W obu przypadkach korzysta się z ciągłości.
Funkcja wykładnicza
Jeżeli to układ równań funkcyjnych (por. i ):
definiuje jedyną (wszędzie) ciągłą funkcję gdzie dla której zachodzi
Funkcję nazywa się funkcją wykładniczą o podstawie Z powodu dogodnych własności liczby (podstawy logarytmu naturalnego) przyjęło się definiować funkcję wykładniczą o tej podstawie, a następnie, za pomocą logarytmu naturalnego, definiuje się potęgowanie nieujemnej liczby rzeczywistej o wykładniku rzeczywistym. Jest on o tyle wygodniejszy od poprzedniej definicji, iż łatwo uogólnia się na liczby zespolone, a nawet inne struktury (np. macierze kwadratowe, zob. dalej). Funkcja (elementarna) może być zadana za pomocą szeregu potęgowego
który jest zbieżny dla dowolnego (a nawet ). Zachodzą własności (1–6), a w szczególności definiujące potęgę własności (2–3):
oraz
Dowodzi się również ciągłości i monotoniczności funkcji oraz tego, iż
Mając daną funkcję wykładniczą, definiuje się funkcję logarytmu naturalnego będącą przypadkiem szczególnym funkcji logarytmicznej, jako funkcją odwrotną do dla (stąd również i ona jest ciągła oraz monotoniczna). Następnie definiuje się potęgę wzorem
który czyni zadość wymaganym własnościom potęgi i jest dobrze określony dla oraz
Ujemna podstawa Równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych dla oraz parzystego choć ma jedno dla nieparzystego. W oparciu o ten fakt często rozszerza się definicję pierwiastka (potęgi o wykładniku wymiernym) w następujący sposób: potęga ujemnej liczby rzeczywistej o wykładniku całkowitym jest liczbą rzeczywistą, potęgi o wykładnikach wymiernych, których mianownik jest liczbą nieparzystą, określa się za pomocą pierwiastków. Zasadniczym problemem jest fakt, iż nie istnieje liczba rzeczywista będąca rozwiązaniem równania dlatego definicja potęgi dla wykładnika będącego liczbą parzystą (licznik i mianownik są względnie pierwsze) wymaga użycia jednostki urojonej będącej jednym z rozwiązań wspomnianego równania.
Metoda korzystająca z logarytmów zawodzi, ponieważ dla dowolnej stąd dla liczba nie jest rzeczywista (z drugiej strony można zdefiniować potęgi zespolone liczb ujemnych, wybierając logarytm zespolony z
Do określenia potęgi ujemnej liczby rzeczywistej nie można również skorzystać z metody wykładnika wymiernego, gdyż opiera się ona na ciągłości. Funkcja ma dokładnie jedno rozszerzenie ciągłe z liczb wymiernych w liczby rzeczywiste dla dowolnego lecz okazuje się, że jeżeli to funkcja nie jest ciągła nawet w zbiorze liczb wymiernych, w którym została określona.
Na przykład jeśli to pierwiastkiem -tego stopnia z dla każdej nieparzystej liczby naturalnej jest Niech będzie nieparzystą dodatnią liczbą całkowitą, wówczas dla nieparzystych i dla parzystych. Stąd zbiór liczb wymiernych dla których jest gęsty w zbiorze liczb wymiernych, podobnie zbiór tych dla których co oznacza, że funkcja jest nieciągła w dowolnym punkcie należącym do zbioru liczb wymiernych, w którym została zdefiniowana.
Liczby zespolone Wykładnik zespolony mały|300px|Funkcja wykładnicza może być zdefiniowana jako granica ciągu dla dążącego do nieskończoności, stąd jest granicą ciągu W animacji przedstawiono zwiększające się w zakresie od 1 do 100 wartości Wartość jest przedstawiona jako wynik kolejnych mnożeń na płaszczyźnie zespolonej, gdzie ostatni punkt jest właściwą wartością tego ciągu. Można zaobserwować, że ciąg dąży do −1 wraz ze wzrostem Stąd równanie to znane jest jako tożsamość Eulera. Kluczem do zrozumienia dla rzeczywistych wartości jest interpretacja geometryczna działań na liczbach zespolonych oraz definicja potęg liczby czyli funkcji wykładniczej Niech dany będzie na płaszczyźnie zespolonej trójkąt prostokątny o wierzchołkach Dla dużych wartości jest nieomalże wycinkiem kołowym o rozwartości kąta środkowego równej radianów. Trójkąty są podobne dla wszystkich Stąd dla dużych punkt graniczny ciągu jest punktem okręgu jednostkowego, którego kąt liczony od dodatniej osi rzeczywistej wynosi radianów. Współrzędnymi biegunowymi (postacią trygonometryczną) tego punktu są a współrzędnymi prostokątnymi (postacią algebraiczną) para W ten sposób Zależność ta nazywana jest wzorem Eulera i łączy ona algebrę z trygonometrią poprzez liczby zespolone.
Rozwiązaniem równania są całkowite wielokrotności
Ogólniej, jeśli to każde rozwiązanie może być uzyskane przez dodanie całkowitej wielokrotności do
Zespolona funkcja wykładnicza jest zatem funkcją okresową o okresie głównym
Ostatecznie:
Ze wzoru Eulera wynika też, że funkcje trygonometryczne sinusa i cosinusa spełniają zależności:
Przed odkryciem liczb zespolonych funkcje sinusa i cosinusa definiowano geometrycznie, powyższe wzory upraszczają skomplikowane wzory na sumę kątów funkcji trygonometrycznych do prostego wzoru na potęgowanie:
W ten sposób potęgowanie wykładników zespolonych sprowadza wiele problemów trygonometrycznych do zagadnień algebraicznych.
Potęgę oblicza się jako gdzie czynnik rzeczywisty jest modułem, zaś to kierunek (wraz ze zwrotem, nazywany jest argumentem) liczby
Potęga zespolona
Jeżeli jest dodatnią liczbą rzeczywistą, a dowolną liczbą zespoloną, to potęgę definiuje się wzorem
gdzie jest jedynym rozwiązaniem rzeczywistym równania
Jeżeli jest liczbą zespoloną, to napotyka się pewne trudności: definiuje się albo funkcje nieciągłe, albo wielowartościowe. W dziedzinie zespolonej jest funkcją wielowartościową, a różnica między jej wartościami wynosi dla to i funkcja wykładnicza jest określona niejednoznacznie, miewając nieskończoną liczbę wartości.
Niech będzie dowolnie wybraną gałęzią logarytmu wówczas:
czyli moduł wynosi wtedy zaś jej argument przyjmuje dowolną z wartości Potęga będzie miała wartości tylko wtedy, gdy gdzie i są względnie pierwsze). Jeżeli to wygodnie jest korzystać ze wzoru de Moivre’a.
Należy tylko pamiętać o dziedzinie potęgowania, przypadku szczególnym i o wieloznaczności potęgowania w liczbach zespolonych. Nieuwzględnienie tych warunków i branie pierwiastka arytmetycznego może doprowadzić do sprzeczności, np.
Funkcja potęgowa