Pierwiastkowanie – operacja odwrotna względem potęgowania, zdefiniowana m.in. dla liczb rzeczywistych i zespolonych. Przy okazji omawiania pierwiastkowania dla liczb rzeczywistych, wprowadza się dwa osobne względem siebie, pojęcia: pierwiastka arytmetycznego i pierwiastka algebraicznego.

Pierwiastki (arytmetyczne i algebraiczne) pojawiają się np. w definicji średniej geometrycznej, w pierwiastkowym kryterium Cauchy’ego na zbieżność szeregu liczbowego (zagadnienie analizy matematycznej), albo w definicji odległości Minkowskiego.

Pierwiastki zespolone z jedynki odgrywają istotną rolę w matematyce wyższej. Duża część teorii Galois skupia się na wskazaniu, które z liczb algebraicznych można przedstawić za pomocą pierwiastków, co prowadzi do twierdzenia Abela-Ruffiniego mówiącego, iż ogólny wielomian stopnia piątego bądź wyższego nie może być rozwiązany za pomocą tzw. pierwiastników, tzn. wyrażeń połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia oraz pierwiastków.

Pierwiastek rzeczywisty arytmetyczny Pierwiastki arytmetyczne definiuje się dla liczb rzeczywistych i w taki sposób, by przypisać liczbom rzeczywistym pierwiastki w sposób wzajemnie jednoznaczny, tj. każdej liczbie rzeczywistej odpowiada dokładnie jeden pierwiastek stopnia -tego, przy czym nie istnieją pierwiastki arytmetyczne dla liczb ujemnych stopnia parzystego, np. pierwiastek drugiego stopnia z . Natomiast już w dziedzinie liczb zespolonych, pierwiastek -tego stopnia z liczby istnieje i ma dokładnie wartości (por. dalej); w tym przypadku liczba jest traktowana jako liczba zespolona o zerowej części urojonej. Także definiuje się tzw. pierwiastek algebraiczny w dziedzinie liczb rzeczywistych, który może mieć dwie wartości dla tej samej liczby. Liczby rzeczywiste nieujemne thumb|Wykres funkcji pierwiastka arytmetycznego kwadratowego – funkcja ta jest zdefiniowana jednoznacznie dla liczb nieujemnych i przypisuje pierwiastkowi wartość nieujemną.

Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia (gdzie ) z liczby rzeczywistej nieujemnej (tzn. ma być: oraz ) nazywamy taką liczbę rzeczywistą nieujemną (tzn. ma być: oraz ), która podniesiona do potęgi , daje liczbę , tj.:

Oznaczenie. Liczbę zapisujemy wówczas w następujący sposób; wprowadzając tym samym znak pierwiastka -tego stopnia:

Oprócz tego, liczbę nazywamy wówczas liczbą podpierwiastkową.

Uwaga. W ten sposób każdej nieujemnej liczbie rzeczywistej przypisana zostaje jedna nieujemna liczba rzeczywista, będąca jej pierwiastkiem arytmetycznym.

Z definicji wynika, że pierwiastek stopnia z liczby , jest rozwiązaniem równania zmiennej przy ustalonej wartości .

Np.  –  pierwiastek arytmetyczny czwartego stopnia z , gdyż .

Uwaga: Jeżeli liczbę 16 będziemy traktować jako liczbę zespoloną (o zerowej części urojonej), to otrzymamy cztery pierwiastki (por. dalej – pierwiastki zespolone).

Liczby rzeczywiste ujemne i pierwiastek stopnia nieparzystego link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Cube-root_function.svg|mały|220x220px|Wykres funkcji sześciennej . Funkcja ta jest rosnąca w całym przedziale liczb rzeczywistych, dlatego każdej liczbie rzeczywistej odpowiada dokładnie jedna liczba będąca jej pierwiastkiem sześciennym. W szczególności pierwiastki z liczb ujemnych są liczbami ujemnymi. Dla liczb rzeczywistych ujemnych pierwiastek stopnia nieparzystego definiuje się wzorem

gdzie:  —  wartość bezwzględna liczby

Uwaga. Wtedy nasze wyrażenie po prawej stronie (tzn. ) ma określoną wartość, ponieważ samo ma już wtedy określoną wartość (bo zdefiniowaliśmy już pierwiastek dla liczb rzeczywistych nieujemnych), tak więc także samo , jest już wówczas dobrze określone.

Np.:

Dla nieparzystych każda liczba rzeczywista ma w ten sposób zdefiniowany pierwiastek rzeczywisty n-tego stopnia.

Nie istnieje zaś rzeczywisty pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej, np. . Istotnie, nie może on istnieć, ponieważ nie istnieje taka liczba rzeczywista , która byłaby rozwiązaniem równania (każda liczba rzeczywista, także ujemna, podniesiona do parzystej potęgi, zawsze będzie musiała zwrócić wartość nieujemną – zaś samo , jest naturalnie wartością ujemną). Jednak już w dziedzinie liczb zespolonych ma aż cztery różne wartości (por. dalej - pierwiastki zespolone).

Symbole pierwiastka arytmetycznego Pierwiastki zapisuje się zwykle za pomocą symbolu (zob. niżej), pierwiastkom stopnia drugiego, trzeciego, czwartego itd. z liczby odpowiadają kolejno symbole itp. (zwyczajowo pomija się w zapisie stopień pierwiastka kwadratowego). Notacja ta nie budzi zastrzeżeń w stosunku do pierwiastków arytmetycznych, niemniej może prowadzić do sprzeczności w przypadku pierwiastków algebraicznych, dla których symbole te nie są jednoznaczne, gdyż istnieje wiele pierwiastków algebraicznych danej liczby (por. niżej).

Pierwiastek kwadratowy, sześcienny i inne Dla pierwiastek arytmetyczny nazywa się pierwiastkiem kwadratowym i oznacza , pomijając cyfrę , zaś dla nazywa się pierwiastkiem sześciennym i oznacza ; pierwiastki wyższych stopni nazywa się wyłącznie liczbowo, np. „pierwiastek czwartego stopnia”.

Pierwiastkowanie jako potęgowanie o ułamkowym wykładniku Obliczanie pierwiastka -tego stopnia jest operacją odwrotną do potęgowania, dlatego pierwiastkowanie można zapisywać jako potęgowanie o wykładniku ułamkowym, tj.

Dowód.

Korzystając z twierdzenia o potędze potęgi mamy:

Z drugiej strony, z definicji pierwiastka wynika, że -ta potęga pierwiastka -tego stopnia musi dać liczbę podpierwiastkową tj.

Porównując obie równości, otrzymujemy rzeczoną równość (porównujemy na zasadzie stwierdzenia, że – istotnie – liczby oraz , obie podniesione do potęgi , dają nam tę samą liczbę ; a więc też i obie one muszą być tym samym pierwiastkiem arytmetycznym (który został łącznie zdefiniowany wcześniej, w sposób jednoznaczny, dla wszystkich liczb rzeczywistych i stopni naturalnych niezerowych ).

Twierdzenia – pierwiastki rzeczywiste thumb|217x217px|Krzywe wybranych pierwiastków i potęg dla . Przekątna równania jest osią symetrii między każdą krzywą funkcji pierwiastkowej a krzywą jej funkcji odwrotnej.

Jeżeli , są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, zaś , są dodatnimi liczbami całkowitymi, to wówczas:

jeśli dodatkowo, jest:

gdy to: Pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest albo liczbą naturalną, albo niewymiernąDowód nie wprost. Niech dla pewnej liczby naturalnej jej pierwiastek będzie niecałkowitą liczbą wymierną; wówczas i istnieją takie liczby naturalne, które mnożone przez dają liczby naturalne. Najmniejsza z nich (istnieje na mocy zasady dobrego uporządkowania) będzie oznaczana literą niech ponadto która jest mniejszą od Wtedy jest liczbą całkowitą, gdyż wyrazy sumy są iloczynami liczb całkowitych, w ten sposób przeczy minimalności co kończy dowód.; np. dla liczby naturalnej 2:

Im większy stopień pierwiastka z liczby mniejszej od , tym większa jest jego wartość, która zmierza do 1 wraz ze wzrostem stopnia pierwiastka, np. Im większy stopień pierwiastka z liczby wiekszej od , tym mniejsza jest jego wartość, która zmierza do wraz ze wzrostem stopnia pierwiastka, np.

Pierwiastki stopni całkowitych z liczb niewymiernych są niewymierne, bo liczba wymierna podniesiona do potęgi o dowolnym wykładniku całkowitym daje liczbę wymierną.

Pierwiastek rzeczywisty algebraiczny Pierwiastkiem algebraicznym stopnia ( gdzie ) z liczby rzeczywistej nazywamy taką liczbę rzeczywistą (dodatnią lub ujemną lub równą zero), która podniesiona do potęgi daje liczbę , tj.

Pierwiastek algebraiczny z liczb rzeczywistych ujemnych stopnia parzystego nie istnieje, podobnie jak pierwiastek arytmetyczny stopnia parzystego, np. pierwiastek kwadratowy z . Ale istnieje pierwiastek algebraiczny dla dowolnych liczb rzeczywistych stopnia nieparzystego i ma zawsze jedną wartość, np. pierwiastek 3-go stopnia z wynosi . Zaś dla liczb rzeczywistych dodatnich istnieją zawsze dwa pierwiastki algebraiczne stopnia parzystego. Np. dla liczby istnieją dwie takie liczby: oraz , gdyż oraz – obie te liczby nazywamy pierwiastkami kwadratowymi algebraicznymi z liczby .

Operacja znajdowania pierwiastka algebraicznego w dziedzinie liczb rzeczywistych przypisuje więc danej liczbie jedną wartość lub dwie wartości, inaczej niż dla pierwiastka arytmetycznego, który przyjmuje zawsze jedną wartość (oraz - tak jak w przypadku pierwiastka arytmetycznego - wyklucza przypisywanie pierwiastków stopnia parzystego liczbom ujemnym).

Pierwiastek zespolony Definicja. Pierwiastkiem zespolonym stopnia z liczby zespolonej nazywa się dowolną liczbę spełniającą równość

Fakt. Każda niezerowa liczba zespolona (w tym liczba rzeczywista, tj. zespolona o zerowej części urojonej) ma różnych zespolonych pierwiastków -tego stopnia (to jest tzw. zasadnicze twierdzenie algebry).

Twierdzenie. Aby wyznaczyć pierwiastki zespolone liczby zespolonej , przedstawia się ją w postaci trygonometrycznej:

gdzie: — moduł — argument główny Wtedy pierwiastki -go stopnia określa wzór de Moivre’a:

gdzie oznacza numer pierwiastka (symbol oznacza tu pierwiastek arytmetyczny). mały|221x221px|Pierwiastki 3-go stopnia z liczby na płaszczyźnie zespolonej tworzą wierzchołki trójkąta foremnego. Interpretacja geometryczna: W interpretacji geometrycznej punkty przedstawiające pierwiastki stopnia liczby zespolonej tworzą wierzchołki -kąta foremnego mającego środek w początku układu współrzędnych, wpisanego w okrąg o promieniu , przy czym wektor wodzący wierzchołka o indeksie 0 jest pod kątem do osi rzeczywistej układu współrzędnych. Ilustrują to przykłady.

Przykłady

Przykład 1: Pierwiastek kwadratowy z link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Imaginary2Root.svg|prawo|mały|Dwa pierwiastki zespolone drugiego stopnia dla Niech będzie dana liczba czysto urojona . Liczba ta ma zerową część rzeczywistą, tj. . Mamy więc moduł , argument główny , stąd postać trygonometryczna

Z wzoru Moivre'a mamy pierwiastki drugiego stopnia z

Pierwiastki te są leżą po przeciwnych stronach początku układu współrzędnych.

Przykład 2: Pierwiastki drugiego stopnia z -1

Niech będzie dana liczba . W dziedzinie liczb rzeczywistych nie istnieje pierwiastek algebraiczny z liczby ujemnej stopnia parzystego. Jednak w dziedzinie liczb zespolonych liczba -1 jest liczbą o zerowej części urojonej i ma de facto postać . Mamy więc moduł , argument główny , stąd postać trygonometryczna:

Z wzoru Moivre'a mamy pierwiastki drugiego stopnia z

W dziedzinie zespolonej istnieją więc dwa pierwiastki kwadratowe z . Są nimi: oraz . (Każda liczba zespolona jest punktem na płaszczyźnie, w tym , sytuacja jest więc inna, niż w przypadku obliczania pierwiastków w dziedzinie rzeczywistej, gdzie liczby są punktami na prostej). link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:NegativeOne3Root.svg|mały|Trzy pierwiastki zespolone 3-go stopnia dla Przykład 3: Pierwiastki 3-go stopnia z -1

Aby obliczyć pierwiastki 3-go stopnia korzystamy z postaci trygonometrycznej oraz wzoru Moivre'a:

Przykłady powyższe ilustrują ogólna prawidłowość, iż każda liczba zespolona ma pierwiastków -tego stopnia - w tym liczby zespolone czysto rzeczywiste, które nie mają pierwiastków algebraicznych w dziedzinie liczb rzeczywistych.

Twierdzenia - pierwiastki zespolone. Subtelność funkcji wielowartościowych W dziedzinie pierwiastków zespolonych obowiązują te same twierdzenia, co w dziedzinie liczb rzeczywistych, ale posługiwanie się nimi wymaga uwagi ze względu na wielowartościowość pierwiastków zespolonych. Np. zakładając słuszność twierdzenia otrzymamy

Ale

zaś

– czyli sprzeczność. Sprzeczność wynika stąd, że w obliczeniach nie uwzględniono faktu, iż pierwiastki kwadratowe z liczb oraz w dziedzinie liczb zespolonych mają po dwie wartości: oraz Wtedy mamy:

czyli dostajemy dwa wyniki, identyczne jak dla pierwiastka z 1.

Historia Nazwy