Pole powierzchni (krótko pole lub potocznie powierzchnia) – dwuwymiarowa miara przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.
Ścisła definicja wymaga wykonania pewnej konstrukcji.
Konstrukcja pojęcia pola I Definicja
Najczęściej spotykana definicja (i jedna z najogólniejszych) odwołuje się do następującej konstrukcji: Pokrywamy całą płaszczyznę, na której znajduje się dana figura, siatką przylegających kwadratów o bokach Liczbę kwadratów mających choćby jeden punkt wspólny z figurą, której powierzchnię mierzymy, oznaczamy przez
Tworząc rozmaite siatki kwadratów o coraz mniejszych bokach i tak dalej, uzyskujemy ciąg liczb
Polem powierzchni nazywamy granicę:
Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, pola powierzchni nie da się obliczyć tą metodą.
Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę – choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie ma podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować pole powierzchni: suma pól dwóch rozłącznych figur może być większa niż pole figury powstałej z ich połączenia.
Problem wyznaczania pól powierzchni dla wszystkich figur Zbiory są wymierne oraz jest niewymierny lub jest niewymierny są rozłączne i oba mają zewnętrzną miarę Jordana równą 1. Suma tych dwóch figur (czyli wnętrze kwadratu) ma pole powierzchni równe 1, skąd możemy wnioskować, że pola tych figur nie można zdefiniować, używając podejścia Jordana. Istnienie nietrywialnej funkcji, którą dałoby się zmierzyć dowolną figurę i która dla dowolnego ciągu przeliczalnego rozłącznych figur dawałaby wynik równy ich sumie, jest niedowodliwe w standardowym systemie aksjomatów ZFC. Zbiór Vitalego i zbiór Bernsteina (istniejące przy założeniu aksjomatu wyboru) są niemierzalne w sensie Lebesgue’a. Przy założeniu aksjomatu wyboru istnieje skończenie addytywna miara mierząca wszystkie podzbiory przestrzeni. Przy założeniu AD, wszystkie podzbiory przestrzeni euklidesowych są mierzalne w sensie Lebesgue’a. Jeśli istnieje liczba mierzalna, to jest niesprzeczne że continuum jest rzeczywiście mierzalne i że istnieje miara na płaszczyźnie mierząca wszystkie jej podzbiory.
Definicja szkolna Definicja używana w szkołach podstawowych, gimnazjach i szkołach średnich. Obieramy kwadrat o boku 1. Kwadrat ten zwany kwadratem jednostkowym jest jednostką pola. Pole jest równe liczbie kwadratów jednostkowych lub jego części mieszczących się całkowicie w mierzonej figurze.
Definicja niejawnie używa pojęcia granicy ciągu (jego części), pojęcia nieużywanego. Definicja ta podaje dolne oszacowanie pola powierzchni figury i dobrze sprawdza się w typowych przypadkach.
Pole pod krzywą Pole między krzywą daną równaniem a osią OX ograniczone prostymi i jest równe całce oznaczonej
Pola niektórych figur Czworokąty mały|Równoległobok z zaznaczonymi: • długościami boków • jedną z wysokości • mniejszą miarą kąta między bokami
Kwadrat: gdzie – długość boku; – długość przekątnej; prostokąt – jedno z uogólnień kwadratu: gdzie – długości boków; – długość przekątnej; – stosunek długości boków; równoległobok – jedno z uogólnień prostokąta [dostęp 2025-07-11].: gdzie – długości boków; – wysokość opuszczona na bok – miara kąta między bokami; – funkcja trygonometryczna sinus; trapez – uogólnienie równoległoboku: gdzie – długości podstaw; – wysokość.
Inne wielokąty mały|Ośmiokąt foremny z jego okręgiem opisanym, okręgiem wpisanym i ich promieniami
Trójkąt dowolny: gdzie – długość dowolnego boku, w tym kontekście nazywanego podstawą; – wysokość opuszczona na ten bok; – miara kąta między bokami i – funkcja trygonometryczna sinus;
trójkąt równoboczny [dostęp 2025-07-12].:
wielokąt foremny – uogólnienie kwadratu i trójkąta równobocznego [dostęp 2025-07-12].:
gdzie – liczba boków; – długość boku; – promień okręgu opisanego na tym wielokącie; – promień okręgu wpisanego w ten wielokąt; – liczba pi; – funkcje trygonometryczne kotangens, sinus i tangens.
Inne figury mały|Elipsa z zaznaczonymi półosiami
Koło – obszar ograniczony okręgiem: gdzie – długość promienia; – liczba pi; obszar ograniczony elipsą – jedno z uogólnień koła: gdzie – długości półosi małej i wielkiej.
Zobacz też metoda analityczna obliczania pól wzór Picka
Przypisy
Linki zewnętrzne Nagrania na YouTube, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” [dostęp 2025-10-28]: Geometria – co to jest „pole powierzchni”. Znajdowanie pola powierzchni. [dostęp 2025-07-11]. Area , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-11].
Kategoria:Geometria Kategoria:Teoria miary Kategoria:Artykuły, które powinna mieć każda Wikipedia (poniżej 10k)