Шема — објект во алгебарската геометрија кој ги обоштува алгебарските вариетети. Теоријата на шемите била воведена од Александар Гротендик во 1960-тите години. Шемите ја револуционизирале алгебарската геометрија и придонеле во разрешувањето на важни хипотези како Вејовите хипотези и последната Фермаова теорема.
Дефиниција Главна инспирација за дефиницијата на шеми доаѓа од дефиницијата на многуобразјата. Реални многубразја се објекти кои локално „изгледаат“ како отвоерни подмножества на . Исто така општите вариетети се објекти кои локлано „изгледаат“ како афини вариетети, па по тој принцип, шемите треба да се објекти кои локлано „изгледаат“ како афини шеми. Афините шеми се шемите чиј тополошки простор е спектарот на прстен со топологијата на Зариски заедно со додатна структура. Таа додатна структура ќе дојде во вид на сноп, т.е. шемите ќе ги дефинираме како локално прстенести простори. Тој сноп треба да ги рефлектира „функциите“ кои се дефинирани врз секое отворено подмножество на една шема.
Спектар на прстен и топологијата на Зариски Нека е прстен (комутивен, со единица). Множеството на сите прости идеали на се нарекува спектарот на . Врз ја дефинираме следнава топологија, наречена топологијата на Зариски. Затворените множества за топологијата на Зариски се множествата од видот каде е произволен идеал. Ова дефинира топологија бидејќи
.
Нека е елемент. Тогаш е отворено подмножество, наречено принципалното отворено подмножество за . Фамилијата на сите принципални отворени подмножества за сите елменти сочинува база на . Подмножеството се интерпретира како множеството на точки за кои не изчезнува, т.е. не е .
Афини шеми За секој прстен иамаме тополошки простор . Овој податок не дефинира „добар“ простор, бидејќи различни прстени можат да имаат ист спектар, како на пример за поле . Ќе дефинираме сноп кој треба да ги рефлектира функциите врз отворени подмножества. Треба да важи . Ако на пример , тогаш треба да биде афинита права (како вариетет), па функциите врз треба да бидат дадени од елементите на . Нека . Тогаш треба да бидат функциите дефинирани врз множеството на точки за кои не изчезнува, т.е. е инвертибилен. Затоа треба да бида локализацијата по . Овие податоци дефинираат сноп врз базата на принципални отворени подмножества и со тоа и сноп врз .
Нека е прост идеал. Не е тешко да се провери дека стеблото , па е локален прстен. Со тоа е локално прстенест простор.
Нека е поле. Следните се примери за афини шеми:
Шемата се нарекува -димензионален афин простор врз . За идеалот пишуваме . Нека е идеал. Tогаш дефинираме . Непрекинатото пресликување индуциарно од е затворена имерзија. Подоцна ќе видиме дека ова дефинира морфизам на шеми кој ја прави затворена подшема на .
Шеми Шема е локално прстенест простор така што за секој постои отворено подмножество , така што како локално прстенест простор е изоморфен на афина шема, т.е. постои прстен така што е изоморфен на . Снопот погоре е рестрикцијата на врз , т.е. за вметнувањето . Неместо , најчесто пишуваме само .
Нека е шема. Тогаш за секое отворено подмножество , исто е шема. На ваков начин најлесно може да се конструира шема која не е афина: Нека како шема. Ќе видиме подоцна дека шемата не е изоморфна на афина шема.
Лепење шеми Нека се шеми заедно со отворени подшеми за сите . Нека постојат изоморфизми така што за сите важи:
врз .
Тогаш можат шемите да се „залепат“ преку и да се добие шема така што постојат отворени имерзии кои исполнуваат:
врз ; ; .
е единствена до единствен изоморфизам. Оваа конструкција најчесто се користи за да се добијат нови од веќе познати шеми.
Проективниот простор се добива преку лепење на следниот начин. Нека е прстен и за . Нека . Тогаш па и се спектарот на истиот прстен. Нека е идентитетското пресликување. Преку лепење добиваме шема наречена -димензионален проективен простор врз .
Морфизми на шеми Нека се шеми. Морфизам на шеми е морфизам на локално прстенести простори. Категоријата на шемите заедно со морфизми на шеми ја означуваме со , а категоријата на афините шеми со морфизми на шеми ја означуваме со .
Нека е шема. -шема е шема заедно со морфизам на шеми . Мофризмот се нарекува структурен морфизам. Нека се -шеми заедно со структурни морфизми и . Морфизам на шеми се нарекува морфизам на -шеми, ако . Категоријата на -шемите заедно со морфизми на -шеми ја означуваме со . Ако е афина шема, тогаш пишуваме и -шема наместо -шема и наместо . Аналогно ги дефинираме и .
Морфизми кон афини шеми Нека се -шеми, каде се афини. Тогаш и имаат природна структура на -алгебра. Морфизам на -алгебри дефинира морфизам на -шеми. Обратно секој морфизам на -шеми е од ваков тип. Тоа значи дека .
Бидејќи за секој прстен постои само еден единствен хомоморфизам , секоја шема има една единствена структура како -шема. Тоа значи дека е терминален објект во категоријата на шемите и дека категоријата е еквиалентна на категоријата .
Резултатот погоре исто имплицира дека функторот од категоријата на -алгебрите во категоријата на афините -шеми е еквиваленција на категории.
Афините шеми и имаат природна структура на -шема преку природните хомоморфизми и .