Questo glossario sulle matrici riporta termini utilizzati per il trattamento di queste entità matematiche, che rivestono grande importanza in svariate branche e applicazioni della scienza.
Nelle brevi spiegazioni di ogni voce, le matrici sono denotate con una lettera maiuscola (tipo A), e i suoi elementi con la corrispondente minuscola a due pedici (tipo ai,j), di cui il primo indica la riga, e il secondo la colonna dell'elemento stesso.
I lemmi sono in ordine alfabetico senza considerare la parola "matrice" o "matrice di" (per es. la voce "Matrice binaria" va ricercata come "Binaria (matrice)".
0 - 9 (0,1)-matrice Binaria (matrice)
A A banda (matrice)
Una matrice a banda è una matrice quadrata che ha tutti gli elementi nulli eccetto quelli sulla diagonale principale e su alcune adiacenti sovradiagonali e sottodiagonali (parallele alla diagonale e poste sopra o sotto di essa). Il numero di diagonali contenenti elementi non nulli è l'ampiezza della banda. Le matrici diagonali, tridiagonali, pentadiagonali, triangolari superiori e inferiori e perfino le matrici quadrate prive di elementi nulli, sono tutti casi particolari di matrici a banda.
Adiacenze (matrice delle)
La matrice delle adiacenze, o "(0,1)-matrice", di un grafo (semplice oppure orientato) è una matrice quadrata di ordine pari al numero di vertici del grafo, che indica le "adiacenze" dei suoi vertici, ovvero il cui elemento ai,j vale 1 (o vero) se esiste un arco che collega il vertice i al vertice j, altrimenti 0 (o falso). La matrice delle adiacenze di un grafo semplice è una matrice simmetrica. È utilizzata per lo sviluppo di algoritmi che agiscono sui grafi orientati.
Aggiunta (matrice)
La matrice aggiunta (in inglese adjoint) di una matrice A è la sua trasposta coniugata, ovvero la matrice ottenuta applicando (senza un ordine particolare) la trasposizione e il coniugio complesso ad A: . Talvolta, ovvero quando A* viene ambiguamente utilizzato per indicare la matrice coniugata di A, la matrice aggiunta di A è indicata . Anche la matrice trasposta della matrice dei cofattori è detta aggiunta (in inglese adjugate). Se la matrice A è reale, la matrice aggiunta coincide con la matrice trasposta di A in quanto la coniugata di una matrice reale è la matrice stessa .
Algebra delle matrici
L'algebra delle matrici è la branca della matematica che si occupa delle proprietà della struttura algebrica delle matrici. L'algebra delle matrici n × n su un campo k, è, quindi, una k-algebra: l'insieme è dotato di struttura algebrica definita da una legge interna additiva e una moltiplicativa e una legge esterna di moltiplicazione per un (qualsivoglia) αεK. In particolare, con le operazioni di somma, prodotto e moltiplicazione per uno scalare αεK, l'insieme delle matrici quadrate di ordine n e a componenti in un campo k è sostegno di un'algebra con legge di composizione (associativa) sicché, dotata delle due leggi di composizione interne, è un anello. L'insieme delle matrici di dimensioni fissate (n,m) e a componenti in un gruppo commutativo è a sua volta un gruppo commutativo, con l'operazione di composizione elemento per elemento. L'insieme delle matrici m × n su un campo k con il prodotto scalare definito su esso elemento per elemento è uno spazio vettoriale su k. L'insieme delle matrici quadrate di ordine n invertibili è associato agli endomorfismi cambio di base di spazio vettoriale (di dimensione n su K).
Antihermitiana (matrice)
Una matrice antihermitiana, o "emihermitiana", è una matrice quadrata opposta alla propria aggiunta (trasposta coniugata complessa): A* = - A. (Al contrario di una matrice hermitiana, o autoaggiunta, per la quale A*=A.)
Antisimmetrica (matrice)
Una matrice antisimmetrica, o "emisimmetrica", è una matrice quadrata opposta alla propria trasposta: At = - A. (Al contrario di una matrice simmetrica, per la quale At = A). Per ogni matrice quadrata A, la matrice A-At è antisimmetrica.
Associata ad una trasformazione (matrice)
La matrice associata ad una trasformazione lineare tra due spazi vettoriali con basi fissate, detta anche solo "matrice di trasformazione", è la matrice che rappresenta la trasformazione rispetto alle basi.
Autoaggiunta (matrice)
Una matrice autoaggiunta, o "matrice hermitiana" è una matrice quadrata uguale alla propria matrice aggiunta: A* = A.
Autovalore e autovettore
Un autovettore di una matrice (quadrata) A (considerata come matrice associata a una trasformazione lineare) è un vettore v che viene mandato dalla trasformazione associata ad A in un multiplo scalare di se stesso: Av=λv. Un autovalore di A è uno scalare λ per cui il sistema lineare Av=λv possiede una soluzione v non nulla. L'insieme degli autovalori di una matrice è dato dal suo polinomio caratteristico. L'insieme degli autovettori di autovalore λ è dato dalle soluzioni del sistema lineare Av=λv.
B Bimatrice
Una bimatrice è un tensore m × n × 2 (oppure due matrici m × n) rappresentato come una matrice i cui elementi sono coppie ordinate di valori. Viene utilizzata in teoria dei giochi per rappresentare, in funzione delle scelte di strategia dei due giocatori, i loro rispettivi profitti (in inglese payoff).
Binaria (matrice)
Una matrice binaria, o "(0,1)-matrice", è una matrice i cui elementi sono scelti tra 0 e 1.
Blocchi (matrice a)
Una matrice a blocchi, o "matrice partizionata a blocchi", è una matrice scritta in modo da raggrupparne gli elementi in blocchi rettangolari, ovvero descritta tramite sottomatrici della matrice stessa.
C Cartan generalizzata (matrice di)
Una matrice di Cartan generalizzata è una matrice quadrata intera, con elementi pari a 2 sulla diagonale principale, minori o uguali a zero altrimenti, e che può essere scritta come prodotto di una matrice diagonale con una matrice simmetrica. Vengono utilizzate nel contesto delle algebre di Lie.
Caratteristica di una matrice Rango di una matrice
Cauchy (matrice di) La matrice di Cauchy di due vettori e è la matrice m × n di componenti .
Circolante (matrice) Una matrice circolante è una matrice quadrata di Toeplitz di ordine n con elementi uguali lungo ognuna delle sue diagonali continue, ovvero per la quale ai,j dipende solo dalla classe di resto di i+j-1 modulo n.
Cofattore
Il cofattore, o "complemento algebrico", di una matrice quadrata A di ordine n, rispetto alla riga i e alla colonna j, è il suo minore (i,j) (il determinante della matrice ottenuta da A eliminando la riga i e la colonna j), moltiplicato per (-1)i+j. La matrice dei cofattori di A è la matrice quadrata i cui elementi sono i cofattori di A. La matrice trasposta della matrice dei cofattori è talvolta detta "aggiunta", anche se questo termine è usato di solito per indicare la trasposta coniugata.
Colonna Una colonna di una matrice è un vettore dato da elementi della matrice disposti su una stessa linea verticale, ovvero con lo stesso secondo indice; la colonna j di è . Una matrice formata da una sola colonna è anche detta vettore colonna. Ogni matrice m × n può essere scritta a blocchi tramite le proprie colonne: A=(C1, C2, ..., Cn). Le colonne di una matrice quadrata sono vettori linearmente indipendenti se e solo se il determinante della matrice non è 0.
Compagna (matrice)
La matrice compagna di un polinomio monico P di grado n è la matrice quadrata di ordine n avente 1 sulla prima sovradiagonale, i coefficienti del polinomio cambiati di segno sull'ultima riga e 0 altrove. Questa matrice viene costruita in modo da avere il polinomio minimo e il polinomio caratteristico pari a P; in particolare, i suoi autovalori sono le radici di P. Per ogni radice λ di P, il vettore è un autovettore di autovalore λ della matrice compagna di P. Talvolta anche la trasposta della matrice compagna è chiamata con lo stesso nome.
Complemento algebrico di una matrice Cofattore
Componente La componente, o "elemento", di una matrice è uno degli oggetti che, disposti a rettangolo, costituiscono la matrice. Solitamente è indicato con una lettera minuscola con due indici per la riga e la colonna: ai,j è la componente sulla riga i e sulla colonna j.
Coniugata complessa (matrice)
La matrice coniugata complessa, o semplicemente "coniugata", di una matrice a coefficienti complessi è la matrice i cui elementi sono i coniugati complessi degli elementi di A: . Talvolta viene utilizzata anche la notazione più ambigua (utilizzata anche per la matrice aggiunta).
Coniugata hermitiana (matrice) Aggiunta (matrice)
Coxeter (matrice di)
Una matrice di Coxeter è una matrice simmetrica intera con elementi non negativi, e pari a 1 sulla diagonale. Viene utilizzata per descrivere i gruppi di Coxeter, definiti da generatori ri con le relazioni .
D Definita positiva (matrice)
Una matrice definita positiva è una matrice quadrata, simmetrica in campo reale o hermitiana in campo complesso, con tutti gli autovalori reali positivi. Le matrici definite positive hanno proprietà analoghe a quelle dei numeri reali positivi.
Densa (matrice) Una matrice densa è una matrice con "pochi" elementi pari a 0. Una matrice con "molti" elementi pari a 0 è invece una matrice sparsa.
Determinante
Il determinante, indicato det e talvolta più ambiguamente , è una funzione che associa ad ogni matrice quadrata un numero che ne sintetizza alcune proprietà algebriche. Se la matrice indica una trasformazione lineare su uno spazio vettoriale, i volumi degli oggetti vengono modificati di un fattore pari al valore assoluto del determinante, e orientati secondo il suo segno. Il determinante è anche utilizzato nello studio e nella risoluzione dei sistemi di equazioni lineari: una matrice con determinante invertibile è invertibile e il relativo sistema di equazioni lineari ha una ed una sola soluzione. A titolo di esempio: per matrici di ordine 1, ; per matrici di ordine 2, ; per matrici di ordine 3,.
Diagonale
La diagonale principale, o semplicemente "diagonale", di una matrice quadrata è la linea che va dall'angolo in alto a sinistra all'angolo in basso a destra; gli elementi su di essa sono della forma . Le sovradiagonali e le sottodiagonali (codiagonali) sono le linee parallele alla diagonale, poste sopra o sotto di essa. La diagonale secondaria di una matrice quadrata di ordine n è l'altra sua diagonale, la linea che va dall'angolo in basso a sinistra all'angolo in alto a destra, e passa per gli elementi .
Diagonale (matrice)
Una matrice diagonale è una matrice quadrata con solo 0 fuori dalla propria diagonale principale. È contemporaneamente triangolare superiore e inferiore. Il determinante di una matrice diagonale è pari al prodotto di tutti gli elementi sulla sua diagonale principale.
Diagonali costanti (matrice a) Toeplitz (matrice di)
Diagonalizzabile (matrice)
Una matrice diagonalizzabile è una matrice quadrata trasformabile, tramite una trasformazione affine invertibile, in una matrice diagonale, ovvero è una matrice che possiede un insieme completo di autovettori linearmente indipendenti.
Dimensioni di una matrice Le dimensioni di una matrice sono il numero delle sue righe e quello delle sue colonne. Solitamente si denotano come , dove m è il numero di righe ed n è il numero di colonne.
E Elemento Componente
Emihermitiana (matrice) Antihermitiana (matrice)
Emisimmetrica (matrice) Antisimmetrica (matrice)
Esponenziale (matrice)
La matrice esponenziale, o "esponenziale di matrice", è una funzione analoga alla funzione esponenziale, che associa ad una matrice quadrata A la matrice ottenuta tramite la serie di potenze . Per le matrici di ordine 1 l'esponenziale di matrice si comporta come l'esponenziale. La matrice esponenziale è molto utilizzata nelle applicazioni di teoria dei sistemi per i controlli automatici.
F Filbert (matrice di)