La dualidad de Priestley es una dualidad entre la categoría de los retículos distributivos acotados y la categoría de ciertos espacios topológicos parcialmente ordenados, denominados espacios de Priestley. Fue introducida por Hilary Priestley en 1970 y desarrollada posteriormente en 1972.
La dualidad proporciona una representación topológica y ordenada de todo retículo distributivo acotado. Puede considerarse una extensión de la dualidad de Stone para álgebras de Boole y, en el caso finito, está estrechamente relacionada con el teorema de representación de Birkhoff.
Espacios de Priestley Un espacio de Priestley es una terna , donde es un espacio topológico compacto y es un orden parcial, que satisface la siguiente propiedad de separación:
si , existe un subconjunto que es simultáneamente abierto y cerrado, es creciente respecto de , contiene a y no contiene a .
Un subconjunto es creciente si
La condición de separación anterior suele denominarse total desconexión respecto del orden.
Los morfismos entre espacios de Priestley son las aplicaciones que son simultáneamente continuas y preservan el orden.
Construcción dual de un retículo Sea un retículo distributivo acotado. Se considera el conjunto
de todos los filtros primos de , ordenado por inclusión.
Para cada se define
La topología de es la generada por los conjuntos y sus complementos. Con esta topología y con el orden dado por la inclusión, es un espacio de Priestley.
La aplicación
identifica a con el retículo de los subconjuntos abiertos y cerrados crecientes de . En particular,
y
Por tanto,
donde denota el retículo de los subconjuntos abiertos y cerrados crecientes de .
Construcción dual de un espacio Recíprocamente, si es un espacio de Priestley, el conjunto
de sus subconjuntos abiertos y cerrados crecientes constituye un retículo distributivo acotado bajo las operaciones
con y .
A cada punto se le asocia el filtro primo
La aplicación
es un isomorfismo de espacios ordenados y topológicos entre y el espacio de Priestley asociado a .
Dualidad categórica Sea la categoría cuyos objetos son los retículos distributivos acotados y cuyos morfismos son los homomorfismos que preservan y . Sea la categoría de los espacios de Priestley y las aplicaciones continuas que preservan el orden.
A un homomorfismo
se le asigna la aplicación
La dirección de la aplicación se invierte porque la preimagen de un filtro primo de es un filtro primo de .
Recíprocamente, si
es un morfismo de espacios de Priestley, la preimagen induce un homomorfismo
Estas construcciones determinan funtores contravariantes y proporcionan una equivalencia
Relación con otras dualidades
Dualidad de Stone Si es un álgebra de Boole, todos sus filtros primos son maximales. Como consecuencia, el orden del espacio de Priestley asociado se reduce a la igualdad. El espacio dual es entonces simplemente un espacio de Stone, y la dualidad de Priestley se reduce a la dualidad de Stone entre álgebras de Boole y espacios de Stone.
Teorema de representación de Birkhoff Cuando es finito, su espacio de Priestley también es finito y su topología es discreta. En este caso, la información relevante reside esencialmente en el orden parcial, y la representación de Priestley recupera la correspondencia entre retículos distributivos finitos y conjuntos parcialmente ordenados finitos expresada por el teorema de representación de Birkhoff. La dualidad de Priestley puede entenderse así como una extensión al caso infinito de la representación ordenada de los retículos distributivos finitos, incorporando una estructura topológica que permite recuperar completamente el retículo.
Importancia La dualidad de Priestley permite traducir problemas algebraicos sobre retículos distributivos en problemas topológicos y de teoría del orden. Propiedades de homomorfismos, congruencias, subretículos y extensiones pueden estudiarse mediante las correspondientes propiedades de sus espacios duales.
También ha servido como punto de partida para dualidades de clases más generales de álgebras basadas en retículos distributivos y para el desarrollo de la teoría de dualidad.
Véase también
Retículo distributivo Teorema de representación de Birkhoff Dualidad de Stone Espacio de Stone Teoría del orden Dualidad (matemática)
Referencias
Bibliografía
Categoría:Teoría de retículos Categoría:Teoría del orden