En física, el model de Gaudin, de vegades conegut com a model quàntic de Gaudin, és un model, o una gran classe de models, en mecànica estadística descrit per primera vegada en el seu cas més simple per Michel Gaudin. Són models exactament resolubles i també són exemples de cadenes d'espín quàntiques.
Història El cas més simple va ser descrit per primera vegada per Michel Gaudin el 1976, amb l'àlgebra de Lie associada considerada com a , el grup lineal especial bidimensional.
Formulació matemàtica Sigui una àlgebra de Lie semisimple de dimensió finita .
Sigui un enter positiu. En el pla complex , trieu diferents punts, .
Denotat per la representació irreductible de dimensió finita de corresponent a l'element integral dominant . Deixa sigui un conjunt de pesos integrals dominants de . Defineix el producte tensorial .
El model s'especifica mitjançant un conjunt d'operadors actuant sobre , coneguts com els hamiltonians de Gaudin. Es descriuen de la següent manera.
Denotat per el producte escalar invariant en (sovint es considera que és la forma assassina). Deixa ser una base de i sigui la base dual donada a través del producte escalar. Per a un element , denotat per l'operador que actua com a sobre el factor de i com a identitat sobre els altres factors. Aleshores
Aquests operadors es desplacen mútuament. Un problema d'interès en la teoria dels models de Gaudin és trobar vectors propis i valors propis simultanis d'aquests operadors.
En lloc de treballar amb els múltiples Hamiltonians de Gaudin, hi ha un altre operador , de vegades anomenat hamiltonià de Gaudin. Depèn d'un paràmetre complex , i també sobre el Casimir quadràtic, que és un element de l'àlgebra envoltant universal , definit com
Això actua sobre les representacions multiplicant per un nombre que depengui de la representació, denotat per . De vegades s'anomena índex de la representació. L'hamiltonià de Gaudin es defineix aleshores
Commutativitat de per a diferents valors de es desprèn de la commutativitat de la .
Hamiltonians Gaudin superiors Quan té rang superior a 1, l'àlgebra de commutació abastada pels hamiltonians de Gaudin i la identitat es pot expandir a una àlgebra de commutació més gran, coneguda com a àlgebra de Gaudin. De manera similar a l'isomorfisme de Harish-Chandra, aquests elements commutadors tenen graus associats, i en particular els hamiltonians de Gaudin formen la part de grau 2 de l'àlgebra. Per a , els hamiltonians de Gaudin i la identitat abasten l'àlgebra de Gaudin. Hi ha una altra àlgebra de commutació que és "universal", subjacent a l'àlgebra de Gaudin per a qualsevol elecció de llocs i pesos, anomenada centre de Feigin-Frenkel.
Aleshores, els vectors propis de l'àlgebra de Gaudin defineixen funcionals lineals sobre l'àlgebra. Si és un element de l'àlgebra de Gaudin , i un vector propi de l'àlgebra de Gaudin, s'obté un funcional lineal donat per El funcional lineal s'anomena un caràcter de l'àlgebra de Gaudin. El problema espectral, és a dir, la determinació de valors propis i vectors propis simultanis de l'àlgebra de Gaudin, esdevé aleshores una qüestió de determinar caràcters a l'àlgebra de Gaudin.
Solucions Una solució a un model de Gaudin sovint significa determinar l'espectre del hamiltonià o hamiltonians de Gaudin. Hi ha diversos mètodes de solució, incloent-hi
Ansatz algebraic de Bethe, utilitzat per Gaudin Separació de variables, utilitzada per Sklyanin Funcions de correlació/opers, utilitzant un mètode descrit per Feigin, Frenkel i Reshetikhin.
Generalitzacions Existeixen generalitzacions derivades de l'afebliment de la restricció de essent una àlgebra de Lie estrictament semisimple. Per exemple, quan es permet que sigui una àlgebra de Lie afí, el model s'anomena model de Gaudin afí.
Una manera diferent de generalitzar és triar un automorfisme preferit d'una àlgebra de Lie particular . Aleshores es poden definir hamiltonians que es transformen agradablement sota l'acció de l'automorfisme. Una classe d'aquests models són els models ciclotòmics de Gaudin.
També hi ha una noció del model clàssic de Garnier. Històricament, el model quàntic de Gaudin va ser definit i estudiat primer, a diferència de la majoria de sistemes físics. Certes teories clàssiques de camps integrables es poden veure com a models clàssics dièdrics afins de Gaudin. Per tant, comprendre els models afins quàntics de Gaudin podria permetre comprendre l'estructura integrable de les teories de camps integrables quàntics.
Aquestes teories de camp clàssiques inclouen el model quiral principal, els models sigma de classe coset i la teoria afí de camps de Toda.
Referències
Categoria:Mecànica quàntica