Obliczanie całek za pomocą metod analizy zespolonej Jeżeli całka jest zbieżna, to możemy ją próbować obliczyć za pomocą analizy zespolonej.
Całka funkcji wymiernej Wszystkie funkcje wymierne których mianownik nie ma pierwiastków rzeczywistych, a licznik jest co najmniej o dwa stopnie niższy niż mianownik, można obliczyć metodami analizy zespolonej.
W obliczeniach będziemy stosowali pojęcie residuum funkcji. Jeżeli wewnątrz zamkniętej krzywej całkowania znajdą się bieguny funkcji i ta funkcja jest analityczna we wszystkich innych punktach obszaru ograniczonego tą krzywą, to wartość całki wyniesie:
gdzie to krzywa gładka, skierowana odwrotnie do ruchu wskazówek zegara.
Oznacza to, że całkę postaci
możemy rozpatrywać jako sumę całek od do wzdłuż osi rzeczywistej oraz po półokręgu o promieniu przechodzącym przez punkty i skierowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Kontynuując, można wykazać, że wartość tej całki będzie wynosiła:
przy założeniu, że wszystkie punkty znajdują się w górnej półpłaszczyźnie liczb zespolonych (ich część urojona jest większa od 0). Punkty leżące w dolnej półpłaszczyźnie liczb zespolonych ignorujemy.
Całka funkcji wymiernej z funkcjami trygonometrycznymi