rozszerzył tym znany wcześniej fakt o nieskończoności liczb pierwszych; wykazał, że każda parzysta liczba doskonała ma związek z liczbami pierwszymi Mersenne’a; udowodnił, że liczba e jest niewymierna. Był to pierwszy dowód niewymierności od czasów starożytnych; wprowadził stałą nazywaną od jego nazwiska, co zrobił potem niezależnie Lorenzo Mascheroni. Wymierność stałej γ była potem długo badana przez matematyków, a w lutym 2022 roku pozostaje to problem otwarty; wysunął pewną hipotezę o sumach potęg, jednak obalono ją w XX wieku metodami komputerowymi.
Postępy poczynili też inni matematycy: W 1719 roku Paul Halcke podał pierwszy przykład cegiełki Eulera, tj. prostopadłościanu o całkowitych krawędziach i przekątnych ścian. Jego rozwiązanie odpowiedniego układu równań diofantycznych to (44,117,240). Doprowadziło to do pytania o prostopadłościan idealny, mający dodatkowo całkowitą przekątną (główną);