w lutym 2022 problem pozostaje otwarty. Johann Heinrich Lambert udowodnił niewymierność liczby pi (π). Christian Goldbach wysunął pewną hipotezę o liczbach pierwszych, nazwaną potem hipotezą Goldbacha. W XXI wieku ogłoszono dowód jej słabszej wersji, w lutym 2022 czekający na pełną weryfikację. Joseph Louis Lagrange udowodnił twierdzenie nazwane jego nazwiskiem. Mówi ono, że każda liczba naturalna jest sumą czterech kwadratów naturalnych; Edward Waring rozwinął też badania problemu Waringa. Jego uczeń wysunął hipotezę nazywaną twierdzeniem Wilsona; zostało udowodnione jeszcze w tamtym stuleciu przez Lagrange’a i jest warunkiem równoważnym pierwszości liczby naturalnej.
XIX wiek mały|Siedmiokąt foremny. Z twierdzenia Gaussa-Wantzela oraz prostych obliczeń wynika, że figury tej nie da się skonstruować klasycznie. To dlatego, że siedem jest liczbą nieparzystą, która nie jest iloczynem żadnych liczb Fermata (3, 5, 17...)
XIX wiek to narodziny nowych gałęzi w teorii liczb: Carl Friedrich Gauss otworzył algebraiczną teorię liczb, wprowadzając kongruencje, dowodząc lematu Gaussa i prawa wzajemności reszt kwadratowych;