Izomorfizmem jest wówczas wzajemnie jednoznaczny homomorfizm (oczywiście definicja homomorfizmu zależy od typu struktury, zobacz: homomorfizm grup, homomorfizm pierścieni, homomorfizm przestrzeni liniowych).
Grupa automorfizmów Zbiór wszystkich automorfizmów obiektu z działaniem składania morfizmów tworzy grupę zwaną grupą automorfizmów obiektu
Grupa ta jest dobrze określona, gdyż: złożenie dwóch endomorfizmów jest endomorfizmem, złożenie jest zawsze łączne, jest morfizmem identycznościowym obiektu na siebie (istnieje z definicji), – z definicji izomorfizm posiada odwrotność będącą izomorfizmem będącym zarazem endomorfizmem, stąd odwrotność również jest automorfizmem.
Grupę automorfizmów obiektu w kategorii oznacza się lub po prostu jeżeli kategoria jest znana z kontekstu. W pewnym sensie pojęcie to jest podobne do konceptu grupy symetrii tego obiektu.
Automorfizmy wewnętrzne W niektórych kategoriach, takich jak grupy, pierścienie, czy algebry Liego, możliwe jest podzielenie automorfizmów na dwa rodzaje nazywane „wewnętrznymi” i „zewnętrznymi”.