Całka w pierwszym wyrazie jest równa jeden z definicji prawdopodobieństwa, natomiast drugi i pozostałe nieparzyste wyrazy (tj. pierwszy i kolejne nieparzyste momenty) zerują się ze względu na symetrię przestrzenną. Pozostała część prowadzi do następującej zależności:
Współczynnik stojący przy drugiej pochodnej przestrzennej, czyli drugi moment prawdopodobieństwa przesunięcia , jest interpretowany jako współczynnik dyfuzji :
W rezultacie gęstość cząstek Browna w punkcie , w chwili czasu spełnia równanie dyfuzji:
Zakładając, że w chwili początkowej z początku układu współrzędnych startuje cząstek, rozwiązanie równania dyfuzji przyjmuje postać:
Wyrażenie to przedstawia rozkład normalny o średniej , co wynika stąd, że cząstka Browna ma takie samo prawdopodobieństwo przesunięcia się w lewo, jak i w prawo z położenia początkowego. Wariancja tego rozkładu, określająca w tym wypadku średni kwadrat przesunięcia cząstki z upływem czasu, dana jest wzorem:
lub