Powyższy -czynnikowy iloczyn jest tożsamy z cyklem -tego stopnia. Mają tu zastosowanie zatem twierdzenia Steinera, Simonsa oraz de Wegera (o których mowa w punkcie 5.1). Hipotetycznie, gdyby istniało rozwiązanie równania dla czynników, moglibyśmy mówić o istnieniu pętli -tego stopnia (pomijamy tu przypadek pętli trywialnej).
Przykład Pętla trywialna:
Problem rozbieżności do nieskończoności w ujęciu diofantycznym Bazując na przedstawionym zapisie diofantycznym, możemy zdefiniować również warunek rozbieżności do nieskończoności ciągu Collatza. Pewność, że ciąg dla danej liczby nie jest rozbieżny do nieskończoności, daje nam zapętlanie się tej liczby (co zostało rozważone powyżej), wpadanie liczby w pętlę lub wystąpienie w ciągu liczby 1 (po skończonej liczbie iteracji), co również jest szczególnym przypadkiem wpadania liczby w pętlę trywialną. Pomijając przypadki hipotetycznych pętli (innych niż 1, 2, 1,...), ciąg Collatza dla dowolnej nierozbieżnej do nieskończoności liczby początkowej można zapisać jako następujący skończony iloczyn: