liczbę 15: a zatem liczba, która następuje po niej po operacjach wynosi

jednak liczbę 15 można również zapisać następująco: wtedy jej następnik po operacjach wyniesie:

Obie konstatacje są poprawne, ale tylko gdy zapiszemy liczbę tak, iż współczynnik będzie nieparzysty otrzymamy ostatnią parzystą składową ciągu operacji typu Bazując na powyższym zapisie, możemy zdefiniować ciąg jeszcze ogólniej, ujmując powtarzalne dzielenie liczb parzystych przez liczbę 2 potęgowo:

Przykłady Zaczynając od = 21, mamy:

Zaczynając od = 7, mamy:

Cykl w ujęciu diofantycznym Warunkiem powstania cyklu w ciągu Collatza jest zajście równości pomiędzy pierwszym a -tym wyrazem ciągu. Musi być spełnione zatem jedno z równań:

lub

lub

itd.

Przy czym, jeżeli na przykład:

to naturalnie spełnione muszą być również równania:

oraz

Ogólnie w zależności od długości cyklu rozważamy zatem układ -tego typu równań (poniżej ):

Każdy taki układ po uporządkowaniu daje się zapisać jako iloczyn następujących czynników:

Potęgi dwójek skracają się do postaci Warunek jakiegokolwiek cyklu będzie zatem następującym równaniem diofantycznym:

Przy czym liczba ilorazowych czynników iloczynu może być dowolna, a wszystkie zmienne to liczby naturalne.