Aby to wyjaśnić posłużymy się pewną skróconą formułą opisującą ciąg.
Skrócona formuła rekurencyjna Każdą operację typu w ciągu Collatza wykonywaną zgodnie z definicją na nieparzystym można skrócić do postaci gdyż liczba jest zawsze parzysta (przy nieparzystym ), a zatem zawsze w następnej kolejności wywołuje dzielenie przez Dlatego ciąg Collatza możemy równoważnie zdefiniować za pomocą następującej skróconej formuły:
Przykłady Zaczynając od = 7, mamy: 7, 11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1.
Zaczynając od = 15, mamy: 15, 23, 35, 53, 80, 40, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1.
Ciąg Collatza w ujęciu diofantycznym Obserwując zachowanie się skróconego ciągu dla określonych liczb, można zauważyć, iż niektóre liczby nieparzyste wywołują kilka operacji typu z rzędu – do momentu, gdy zostanie osiągnięta liczba parzysta, inne natomiast tylko jedną. Liczby te można zapisać przy użyciu dwóch naturalnych zmiennych oraz warunkujących wielkość danej liczby oraz liczba powtarzalnych operacji typu które dana liczba determinuje za pomocą następującego wyrażenia:
Przy czym zmienna jest determinantą liczby następujących po sobie operacji typu natomiast tylko wielkości liczby. Każda liczba postaci generuje w ciągu Collatza po operacjach liczbę postaci:
Weźmy np.