Twierdzenia Ray Steiner udowodnił w 1978 r., że nie istnieje cykl I stopnia. Oznacza to, że niezależnie od tego, ile iteracji zostanie wykonanych oraz ile będzie wynosił wykładnik zaczynając od liczby nigdy nie otrzymamy liczby w 1996 r. John Simons (opierając się na metodzie Steinera) udowodnił, iż nie istnieje cykl II stopnia: a = T(a;(1)L,A,(1)M,B), niezależnie od tego ile będzie wynosić oraz w 2002 r. John Simons oraz Benne de Weger wykazali, że nie istnieje cykl mniejszy lub równy cyklowi 68. stopnia: a = T(a;(1)L1,A1,(1)L2,A2,...,(1)L68,A68). w 2002 r. John Simons oraz Benne de Weger wykazali także, że nie istnieje cykl większy o kilka wartości od cyklu 68. stopnia (szacując to na podstawie poprzedniego wyniku).
Hipoteza Collatza w ujęciu diofantycznym Warunki hipotezy można ująć za pomocą pewnych równań diofantycznych.