Z powyższych własności wynika, że szereg potęgowy ma pochodne dowolnego rzędu wewnątrz koła zbieżności, co oznacza, że funkcja przedstawiona za pomocą szeregu potęgowego jest holomorficzna wewnątrz koła zbieżności.
Szeregi potęgowe rzeczywiste W przypadku zmiennej rzeczywistej koło zbieżności stanowi przedział nazywany przedziałem zbieżności szeregu.
Działania na szeregach potęgowych Dane są szeregi o identycznych środkach, ale o niekoniecznie równych promieniach zbieżności:
Równość szeregów Dwa szeregi przedstawiają tę samą funkcję wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe wszystkie współczynniki przy tych samych potęgach dwumianu
Dodawanie i odejmowanie Suma / różnica funkcji zadanych za pomocą szeregów potęgowych jest szeregiem danym wzorem
zbieżnym w mniejszym z kół zbieżności szeregów oraz .
Mnożenie i dzielenie Iloczyn szeregów: Iloczynem Cauchy’ego określonych wyżej szeregów nazywamy szereg
Dla argumentów z mniejszego koła zbieżności szereg jest zbieżny bezwzględnie i kolejność sumowania wyrazów nie ma znaczenia, dlatego powyższą sumę można też zapisać jako
Dzielenie szeregów (dla tych liczb z, dla których mianownik nie zeruje się):
Dla wyznaczenia współczynników wystarczy napisać
skąd przez wymnożenie, porównanie współczynników szeregów po obu stronach i wykorzystanie ich jednoznaczności otrzymamy