Całkowanie i różniczkowanie Z własności szeregu potęgowego wynika bezpośrednio (patrz: szereg funkcyjny), że jego suma jest funkcją różniczkowalną i całkowalną w sensie Riemanna we wnętrzu koła zbieżności tego szeregu. Co więcej, ze względu na zbieżność jednostajną szeregu potęgowego zarówno pochodną, jak i całkę tej funkcji można otrzymać różniczkując lub całkując szereg potęgowy funkcji wyraz po wyrazie,
oraz
Obydwa szeregi po prawej stronie równości są zbieżne w tym samym kole zbieżności co szereg wyjściowy.
Funkcje analityczne Z szeregami potęgowymi zmiennej zespolonej ściśle związane są funkcje analityczne.
(1) Każda funkcja analityczna lokalnie (tj. w pewnym otoczeniu dowolnego punktu swej dziedziny) daje się przedstawić szeregiem potęgowym
(2) I na odwrót: każdy szereg potęgowy jest funkcją analityczną we wnętrzu swego koła zbieżności.