objaśnienia notacji).
Przy tym: jeśli to i szereg jest zbieżny jedynie dla jeśli to i szereg jest zbieżny dla wszystkich
Twierdzenie 2 (kryterium d'Alemberta)
Promień zbieżności szeregu potęgowego można wyznaczyć ze wzoru:
przy założeniu, że powyższa granica istnieje.
Dowód twierdzenia 1
Szereg potęgowy jako funkcja holomorficzna Szereg potęgowy jest funkcją funkcja holomorficzną (tj. jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna), co uzasadniają poniższe twierdzenie: Szereg potęgowy jest ciągły i zbieżny jednostajnie na dowolnym zwartym podzbiorze koła zbieżności. Szereg potęgowy o środku w punkcie i promieniu zbieżności jest zbieżny jednostajnie na dowolnym kole domkniętym o promieniu i środku w punkcie ( tj. na kole , gdzie , a - domknięcie zbioru). Pochodną funkcji jest szereg potęgowy - różniczkowanie szeregu można zastąpić szeregiem pochodnych po poszczególnych wyrazach szeregu ze względu na zbieżność jednostajną. Szereg przedstawiający pochodną funkcji także jest zbieżny jednostajnie na dowolnym kole , gdzie .