Indukcja zupełna Czasami wygodnie jest użyć zasady indukcji w nieco innej postaci. Zakłada się w niej prawdziwość nie tylko ale każdego ze zdań i wnosi o prawdziwości Zapewnia to o prawdziwości dla wszystkich o czym mówi poniższy Lemat Niech będzie stwierdzeniem zawierającym liczbę naturalną . Zakładając, że jest prawdziwe, dla wszystkich jeśli są prawdziwe, to jest prawdziwe, otrzymuje się prawdziwość dla wszystkich Dowód zgodnie z zasadą indukcji matematycznej (niezupełnej). Niech
wtedy jest prawdziwe (z założenia o bazie indukcyjnej (i)), przyjmując hipotezę indukcyjną, że jest prawdziwe; wówczas: i i … i jest prawdziwe (z definicji ), wszystkie są prawdziwe (z własności koniunkcji), jest prawdziwe (z założenia o hipotezie indukcyjnej (ii)), wszystkie są prawdziwe, i i … i i jest prawdziwe, jest prawdziwe.
Zatem dla każdego jeśli jest prawdziwe, to jest prawdziwe. Z zasady indukcji matematycznej (niezupełnej) jest prawdziwe dla wszystkich Dlatego i i … i są prawdziwe dla wszystkich
co kończy dowód..
Dzięki niemu zasada indukcji matematycznej może zyskać nową, czasem bardziej użyteczną postać, tzw. indukcji zupełnej.