Rozstrzygalność ta, wraz z podstawowym twierdzeniem skończonych grup przemiennych opisanych wyżej, podkreślają pewne sukcesy teorii grup abelowych, jednakże nadal istnieje wiele obszarów, w których prowadzi się badania: wśród beztorsyjnych grupa abelowych skończonego rzędu, dobrze zrozumiane są tylko przypadki grup skończenie generowanych oraz rangi 1; istnieje wiele nierozwiązalnych problemów w teorii beztorsyjnych grup abelowych nieskończonej rangi; choć przeliczalne torsyjne grupy abelowe są dobrze rozumiane dzięki prostym przedstawieniom i niezmiennikom Ulma, to badania nad przeliczalnymi grupami mieszanymi są o wiele mniej zaawansowane; o wielu łagodnych rozszerzeniach teorii pierwszego rzędu grup abelowych wiadomo jest, iż są nierozstrzygalne; skończone grupy przemienne są przedmiotem badań obliczeniowej teorii grup.
Co więcej, grupy abelowe nieskończonego rzędu prowadzą, całkiem zaskakująco, do poważnych pytań dotyczących teorii mnogości, o której powszechnie uważa się, że jest podstawą całej matematyki.