Dowód 1. Należy dowieść, że jeśli dla zachodzi to Niech więc dla pewnego zachodzi niech oznacza prawostronny element odwrotny (istnieje z aksjomatów), tj. Wówczas skąd (łączność), a więc (gdyż ), co daje ( jest prawostronnym elementem neutralnym). 2. Warunek oznacza, że jeśli jest prawostronnym elementem neutralnym, tzn. dla wszystkich to Podstawiając w szczególności za otrzymuje się co oznacza z punktu 1. 3. Innymi słowy: jeżeli to Niech zatem wtedy element jest równy (dwukrotnie łączność), a z założenia jest on równy czyli dla zachodzi a więc z punktu 1. wynika, że tzn. 4. Należy udowodnić, że dla dowolnego niech zaś będzie jego prawostronnym elementem odwrotnym. Wówczas skąd (punkt 3.), a stąd czyli dlatego i wreszcie co oznacza, że jest również lewostronnym elementem neutralnym. 5. Niech dla wszystkich czyli będzie lewostronnym elementem neutralnym, wtedy W szczególności podstawiając za element otrzymuje się co z punktu 1. daje 6. Wiadomo, że każdy element ma co najmniej jeden prawostronny element odwrotny, niech będzie to tzn. Należy wykazać, że jeżeli to (gdzie ). Niech więc oraz Z punktu 3. jest skąd czyli a więc to jest i wreszcie (punkt 4.). 7. i 8. Niech a oznacza jego jednoznacznie wyznaczony prawostronny element odwrotny. Z punktu 3. wiadomo, że jest także lewostronnym elementem odwrotnym do tj.