o ile tylko oraz dla każdego Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa: z każdego rzeczywistego lub zespolonego ciągu ograniczonego można wybrać podciąg zbieżny. Każdy ciąg liczb rzeczywistych monotoniczny i ograniczony ma granicęDowód: Niech będzie ciągiem rosnącym (rozumowanie dla malejącego jest analogiczne). Z założenia zbiór ma ograniczenie, a zatem posiada kres górny
Wybierzmy Z własności kresu górnego istnieje takie dla którego zachodzi Dla dzięki monotoniczności, mamy
a jednocześnie
co oznacza, że
ale to dowodzi, że jest granicą ciągu Warunek ten jest w istocie jedną z wersji aksjomatu ciągłości zbioru liczb rzeczywistych..
Ciąg liczbowy rzeczywisty lub zespolony jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy’egoImplikacja: jeśli ciąg jest ciągiem Cauchy’ego, to jest zbieżny oznacza, że zbiór liczb rzeczywistych i liczb zespolonych jest przestrzenią zupełną. Usunięcie z tych zbiorów jakiegokolwiek punktu powoduje utratę tej własności..
Granice niewłaściwe
Dla niektórych rozbieżnych ciągów nieskończonych wprowadza się pojęcie granicy niewłaściwej.