Widzimy, że sekwencja wydaje się zbiegać do punktu granicznego, ponieważ wyrazy ciągu zbliżają się do siebie wraz ze wzrostem W liczbach rzeczywistych każdy ciąg Cauchy’ego zbiega się do pewnej granicy.
Ciąg ma najwyżej jedną granicę (właściwą). Jeśli ciąg ma granicę właściwą, to jest on ograniczonyDowód: niech dany będzie ciąg zbieżny do Niech Wtedy z definicji zbieżności istnieje takie że dla każdego zachodzi
Z własności wartości bezwzględnej otrzymujemy:
co oznacza, że
Połóżmy teraz Zbiór ten jest skończony, a zatem istnieje jedno wspólne ograniczenie wszystkich elementów co oznacza, że jest on ograniczony.. Jeśli ciąg liczb rzeczywistych bądź zespolonych ma granicę niewłaściwą, to jest nieograniczony. Dowolny nieskończony podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy. Jeśli ciągi i są zbieżne oraz dla każdego naturalnego to Twierdzenie o trzech ciągach: jeśli ciągi i są zbieżne do wspólnej granicy przy czym dla każdego naturalnego to ciąg również jest zbieżny i to do granicy Jeśli ciągi są ciągami zbieżnymi odpowiednio do oraz do to wykonalne są działania: