thumb|350px| Twierdzenie Caseya – twierdzenie geometrii euklidesowej, będące uogólnieniem twierdzenia Ptolemeusza, nazwane na cześć irlandzkiego matematyka Johna Caseya.
Wypowiedź twierdzenia thumb|350px|Animacja pokazująca, jak twierdzenie Caseya degeneruje się do twierdzenia Ptolemeusza Niech będzie okręgiem o promieniu Niech będą (w tej kolejności) czterema okręgami zawierającymi się i stycznymi od wewnątrz do okręgu Oznaczmy przez długość odcinka zawartego pomiędzy punktami styczności na stycznej zewnętrznej do okręgów Wtedy zachodzi:
Zauważmy, że gdy okręgi degenerują się do punktów, twierdzenie to przybiera postać twierdzenia Ptolemeusza.
Dowód Elementarny dowód tego twierdzenia pochodzi z pracy Zachariasa. Oznaczmy promień okręgu przez a jego punkt styczności z okręgiem przez Środki okręgów będziemy oznaczali przez oraz Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że
thumb|350px|Zależności pomiędzy odcinkami stycznymi wewnętrznymi (po lewej) oraz zewnętrznymi (po prawej) do okręgów Będziemy chcieli wyrazić prawą stronę tej równości przy użyciu punktów by móc zastosować twierdzenie Ptolemeusza. Z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta wynika, że
Ponieważ okręgi są do siebie styczne, zachodzi
a ponieważ są styczne wewnętrznie
Łatwo również zauważyć, że kąty i to, odpowiednio, kąt środkowy i kąt wpisany oparte na tym samym łuku Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym wynika, że
Niech będzie punktem na okręgu Z twierdzenia sinusów w trójkącie
Zatem
podstawiając je do wzoru :
Ostatecznie, długość której szukamy, to
Możemy teraz obliczyć ile wynosi lewa strona równania ; wymnażając wartości oraz używając oryginalnego twierdzenia Ptolemeusza, zastosowanego do wpisanego czworokąta otrzymujemy:
co było do okazania.
Uogólnienia i uwagi thumb|350px|Przypadek twierdzenia Caseya, gdy dwa okręgi są styczne wewnętrznie, a dwa zewnętrznie Łatwo wyobrazić sobie przypadek, gdy nie wszystkie z czterech mniejszych okręgów są styczne wewnętrznie. Twierdzenie powyższe, z drobną modyfikacją, pozostaje prawdziwe dla okręgów stycznych zarówno wewnętrznie, jak i zewnętrznie:
Jeśli są oba styczne z tej samej strony (tj. oba zewnętrznie lub oba wewnętrznie), to jest długością odcinka stycznej zewnętrznej zawartego pomiędzy punktami styczności.
Jeśli zaś są styczne z różnych stron (jeden zewnętrznie, a drugi wewnętrznie), to jest długością odcinka stycznej wewnętrznej zawartego pomiędzy punktami styczności.
Tok dowodu podanego powyżej pozostaje taki sam, poza zmianą dwóch wielkości: jeśli okrąg jest styczny zewnętrznie do to oczywiście
Oprócz tego, gdy są styczne po przeciwnych stronach okręgu (ponownie załóżmy, że jest styczny zewnętrznie, a wewnętrznie), to długość odcinka spełnia wtedy zależność thumb|350px|Przypadek twierdzenia Caseya, gdy jeden okręg jest styczny wewnętrznie, a trzy zewnętrznie
co po analogicznych przekształceniach daje
Gdy z kolei oba okręgi są styczne zewnętrznie, to odcinek styczny ponownie spełnia zależność , a jego długość wynosi
Ostatecznie więc, dla dwóch okręgów stycznych, w tej kolejności, do w dowolny sposób zmodyfikowana długość odcinka wynosi
gdzie znak w wyrażeniach zależy od tego, czy okrąg jest styczny wewnętrznie (-), czy zewnętrznie (+).
Twierdzenie odwrotne Należy również zauważyć, że twierdzenie odwrotne do twierdzenia Caseya jest prawdziwe. Jeśli zachodzi równość , to okręgi dane są styczne. Co więcej, prawdziwe jest mocniejsze twierdzenie: Niech dane będą cztery okręgi Dla pewnych odcinków stycznych (wewnętrznych lub zewnętrznych) pomiędzy okręgami zachodzi
wtedy i tylko wtedy, gdy okręgi te są w tej kolejności styczne do pewnego okręgu Ponadto, rodzaj odcinków stycznych użytych w określa jak okręgi te są styczne:
jeśli wszystkie odcinki styczne są zewnętrzne, to wszystkie okręgi są styczne w ten sam sposób do (albo wszystkie wewnętrznie, albo wszystkie zewnętrznie), jeśli odcinki styczne wychodzące z jednego z okręgów są innego rodzaju niż pozostałe trzy, to okrąg ten jest styczny w inny sposób, niż pozostałe trzy, jeśli okręgi można podzielić w pary tak, by odcinki styczne pomiędzy okręgami w każdej z par są odcinkami stycznymi zewnętrznymi, a pomiędzy okręgami różnych par – zewnętrznymi, to okręgi w parach są tak samo styczne do okręgu
Zastosowania Twierdzenie Caseya i twierdzenie doń odwrotne jest używane do dowodzenia wielu twierdzeń z geometrii euklidesowej. Najkrótszym znanym dowodem twierdzenia Feuerbacha jest użycie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Caseya. Wykorzystanie twierdzenie Caseya znaleźć można również w jednej z japońskich zagadek rysunkowych sangaku z 1874 roku.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
Caseya