Tensor – obiekt matematyczny, będący – w pewien szczególny sposób określonym – uogólnieniem pojęcia wektoraWektora w sensie „szkolnym”. W algebrze liniowej wektor to element dowolnej przestrzeni liniowej, w tym sensie tensor jest szczególnym przypadkiem wektora.. Zbiór wszystkich tensorów wraz z odpowiednimi działaniami dodawania i mnożenia przez skalar, nazywa się przestrzenią tensorową. Tensory, podobnie jak wektory, mogą być swobodne i zaczepione. Rozważa się pola tensorowe (nazywane również w skrócie tensorami), czyli pola, które każdemu punktowi przestrzeni przypisują pewien tensor. Tensory, które zmieniają się przy zmianie skali, ściśle nazywa się gęstościami tensorowymi.
Obiektami podobnymi do tensorów są tensory spinorowe (np. spinory są analogami wektorów). Uogólnieniem tensorów i tensorów spinorowych jest tzw. obiekt geometryczny.
Cel link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Components_stress_tensor.svg|prawo|mały|300x300px|Tensor naprężeń Cauchy'ego, tensor drugiego rzędu. Składowe tensora w układzie kartezjańskim 3-wymiarowym tworzą macierz której kolumny są naprężeniami (naprężenie to iloraz siły przez powierzchnię) działającymi na ściany e1, e2 oraz e3 sześcianu.
(1) Aby opisać przestrzeń geometryczną (np. przestrzeń 3-wymiarową, czasoprzestrzeń), wprowadza się zazwyczaj układ współrzędnych, który można wybierać na wiele sposobów. Zapis praw przyrody przy ustalonym układzie nie pozwala na ogół rozstrzygnąć czy jakaś zaobserwowana właściwość danego zjawiska jest cechą praw przyrody, czy tylko narzuca ją wybór układu współrzędnych.
Tensory – jako pewne obiekty matematyczne – mają właściwości niezależne od wyboru układu współrzędnych. Z wyrażeń tensorowych tworzy się równania, nazywane równaniami tensorowymi lub tożsamościami tensorowymi. Równania te słuszne w jednym układzie będą słuszne w każdym innym.
(2) Prawa fizyki powinny dać się zapisać za pomocą równań tensorowych, tzn. wielkości fizyczne występujące w równaniach opisujących podstawowe prawa przyrody powinny być tensorami (skalarami, wektorami, tensorami wyższych rzędów). Przy tym postuluje się za Einsteinem, iż równania tensorowe powinny być niezmiennicze względem zmiany układu współrzędnych, tzn. symbole wielkości tensorowych powinny być powiązane ze sobą w identyczny sposób po transformacji z jednego układu współrzędnych do innego. Co istotne, żąda się, by rozważane transformacje miały bardzo ogólny charakter. Np. równania szczególnej i ogólnej teorii względności (STW i OTW) są równaniami tensorowymi niezmienniczymi ze względu na transformację Lorentza.
Wybór konkretnego układu współrzędnych pozwala na rzutowanie tensorów na osie układu współrzędnych – w ten sposób dostaje się współrzędne tensorów będące liczbami (lub funkcjami zależnymi od punktów przestrzeni), co umożliwia przeprowadzenie obliczeń.
(3) Równania Newtona, będące podstawą fizyki klasycznej, mają charakter równań tensorowych – występują w nich wektory, a równania są niezmiennicze ze względu na transformację Galileusza. Np. w równaniu II zasady dynamiki Newtona występują wektor siły i wektor pędu (wektory są tensorami I rzędu):
W konkretnie wybranym układzie współrzędnych równanie to przyjmie postać układu trzech równań:
gdzie – współrzędne wektorów rzutowanych na osie wybranego układu współrzędnych.
(4) Transformacja Galileusza jest mniej ogólna niż transformacja Lorentza. Wprowadzenie przez Einsteina wymogu, by prawa fizyki były niezmiennicze ze względu na transformację Lorentza doprowadziło do bardziej uniwersalnego sformułowania praw przyrody, w postaci STW i OTW.
(5) Rachunek wektorowy był przez długi czas dla matematyków wystarczający, ponieważ rozważano tylko jeden układ współrzędnych: ortonormalny układ kartezjański. Z czasem zaszła potrzeba rozważania innych układów, np. kartezjańskich ukośnokątnych lub krzywoliniowych. Także w obrębie zainteresowań matematyków pojawiły się przestrzenie zakrzywione, w których nie da się zdefiniować prostoliniowego układu współrzędnych. Dlatego konieczne stało się używanie rachunku tensorowego.
Parametryzacja przestrzeni – przyjęcie układu współrzędnych Parametryzacja przestrzeni poprzez przyjęcie układu współrzędnych z kanonicznie zdefiniowaną bazą i kobazą wektorów stanowi niezbędny element definicji tensorów.
(1) Niech będzie dana przestrzeń Euklidesa – rozważymy tu dla prostoty przestrzeń trójwymiarową (uogólnienie na przestrzenie euklidesowe dowolnego wymiaru będzie wymagać jedynie zwiększenia zakresu sumowań w podanych wzorach).
(2) W przestrzeni Euklidesa zawsze można zdefiniować kartezjański układ współrzędnych – tzw. bazowy układ współrzędnych, tak że każdy punkt przestrzeni określony jest przez trójkę liczb zwanych współrzędnymi tego punktu; wektor wodzący punktu ma postać
gdzie: – wektory lokalnej bazy układu współrzędnych kartezjańskich; wektory te są ortogonalne i unormowane do 1.
(3) W przestrzeni wprowadzamy drugi dowolny krzywoliniowy układ współrzędnych zdefiniowany względem układu współrzędnych kartezjańskich zadany za pomocą funkcji
lub
(4) Przekształcenie musi być jednoznaczne, dlatego jakobian przekształcenia musi być różny od zera w całym obszarze, gdzie chce się wprowadzić współrzędne krzywoliniowe
(5) Bazę układu tworzą wektory styczne do linii układu współrzędnych
Podstawiając
otrzymamy wyrażenie na wektory styczne do linii współrzędnych w układzie krzywoliniowym, wyrażone w bazie układu kartezjańskiego
przy czym należy pamiętać, że w powyższym wzorze obowiązuje sumowanie po powtarzającym się wskaźniku
Z powyższego widać, że: Wektory bazy kartezjańskiej transformują się na bazę układu krzywoliniowego poprzez macierz
(tj. równą macierzy transformacji nowych współrzędnych w stare).
(6) Kobazę układu współrzędnych (bazę sprężoną do ) tworzą wektory prostopadłe do płaszczyzn wyznaczonych przez pary wektorów bazowych
Z powyższego widać, że: Wektory bazy kartezjańskiej transformują się na kobazę układu krzywoliniowego poprzez macierz
(7) Z powyższego widać, że Macierze transformacji bazy kartezjańskiej w wektory bazy i kobazy są wzajemnie odwrotne, tj.
(8) Zależności między wektorami bazy i kobazy
oraz
gdzie – delta Kroneckera.
Definicja tensorów
Tensor 0. rzędu, czyli pole skalarne (funkcja skalarna)
nie zmienia wartości przy przejściu do innego układu współrzędnych.
Tensor 1. rzędu, czyli pole wektorowe Jedna z możliwych definicji tensora opiera się na obserwacji, iż współrzędne wektorów wykazują szczególne właściwości transformacyjne przy przejściu do bazy innego układu współrzędnych. Poniżej pokażemy te właściwości transformacyjne.
(1) Wektor jest obiektem geometrycznym, dlatego nie zależy od tego, w jakiej bazie jest wyrażony. Stąd prawdziwe muszą być poniższe równości
(2) Ponieważ to zachodzi odwrotna zależność
(3) Podstawiając powyższe wyrażenie do pierwszej równości otrzyma się
(4) Oznacza to, że współrzędne wektora kontrawariantnego określone w układzie przy przejściu do innego układu transformują się w tak że: Nowe współrzędne wektora zależą od starych współrzędnych poprzez macierz transformacji tj.
(5) Powyższą właściwość dotyczącą transformacji współrzędnych wektora uogólnia się, co stanowi podstawę jednej z możliwych definicji tensora.
Tensor 2. rzędu otrzymany z iloczynu dwóch wektorów Tensor 2. rzędu można otrzymać np. z iloczynu tensorowego dwóch wektorów.
(1) Iloczyn dwóch wektorów w postaci kontrawariantnej daje tensor kontrawariantny 2. rzędu, gdyż
gdzie – iloczyny tensorowe (zewnętrzne) wektorów bazy – współrzędne kontrawariantne tensora.
(2) Iloczyn dwóch wektorów w postaci kowariantnej daje tensor kowariantny, gdyż
gdzie – iloczyny tensorowe (zewnętrzne) wektorów kobazy, – współrzędne kowariantne tensora.
(3) Iloczyn wektora w postaci kowariantnej z wektorem w postaci kontrawariantnej daje tensor mieszany, gdyż
gdzie – iloczyny tensorowe (zewnętrzne) wektorów kobazy i bazy, – współrzędne kowariantno-kontrawariantne tensora.
(4) Iloczyn wektora w postaci kontrawariantnej z wektorem w postaci kowariantnej daje tensor mieszany, gdyż
gdzie – iloczyny tensorowe (zewnętrzne) wektorów bazy i kobazy, – współrzędne kontrawariantno-kowariantne tensora.
(5) Z powyższego widać, że tensor 2. rzędu ma współrzędne różnego typu w zależności od tego, w jakiej bazie jest wyrażony. Ponieważ jednak tensor jest obiektem geometrycznym, to nie zależy od bazy, w jakiej jest wyrażany, dlatego dla dowolnego tensora słuszne są zależności
Transformacja współrzędnych tensora 2. rzędu (1) Dany jest tensor w bazie wektorów
gdzie – współrzędne tensora.
(2) Tensor ten w bazie wektorów ma postać
gdzie – współrzędne tensora.
Z porównania (1) (2) oraz podstawienia zależności wynikają związki transformacyjne współrzędnych tensora,
Transformacja współrzędnych tensora dowolnego rzędu Podobnie otrzymuje się wzory transformacyjne dla innych tensorów, np.
Przykład: Tensor utworzony z iloczynu tensorowego wektorów Założenia: – wektory bazy przestrzeni euklidesowej 3-wymiarowej, – wektory bazy (tzw. kobazy) przestrzeni dualnej – wektor kontrawariantny (należący do ), – wektor kowariantny (należący do ).
Z wektorów można utworzyć tensor za pomocą mnożenia tensorowego, tj.
gdzie: – iloczyny tensorowe wektorów bazowych.
Aby jawnie pokazać, co wyrażają powyższe iloczyny tensorowe przyjmijmy reprezentację (kanoniczną) wektorów bazy w postaci wektorów wierszowych, a kobazy w postaci wektorów kolumnowych
Wtedy
Tensor
jest więc kombinacją liniową wszystkich par wektorów bazowych mnożonych wektorow; tensor ten ma w podanej reprezentacji przedstawienie w postaci macierzy 3 × 3:
przy czym wielkości
nazywa się współrzędnymi tensora; iloczyny tensorowe które w podanej reprezentacji są macierzami 3 × 3 o jednym elemencie niezerowym, stanowią bazę przestrzeni tensorowej tensorów typu rozpiętych nad 3-wymiarową przestrzenią euklidesową Przestrzeń tensorowa tego typu tensorów jest więc -wymiarowa.
Uwagi:
(1) Gdyby przestrzeń euklidesowa była -wymiarowa, to tensory typu (o dwóch indeksach) tworzyłyby przestrzeń tensorową -wymiarową.
(2) Gdyby przestrzeń euklidesowa była -wymiarowa, to tensory mające indeksów tworzyłyby przestrzeń tensorową -wymiarową. Np. tensory mające indeksów na przestrzeni -wymiarowej tworzyłyby przestrzeń tensorową wymiarową (!).
Definicja tensora za pomocą funkcji wieloliniowej (Uwaga: Poniższa definicja jest mało intuicyjna przy pierwszym zetknięciu się z pojęciem tensora).
Jeżeli jest przestrzenią liniową wymiaru N nad ciałem Definicję tensora można nieco uogólnić, zastępując przestrzeń liniową nad ciałem modułem nad algebrą przemienną., jest przestrzenią do niej sprzężoną, i są nieujemnymi liczbami całkowitymi, dany jest iloczyn kartezjański,
to tensorem nazywamy dowolną funkcję (p+q)-liniową
przy tym
(1) wektory przestrzeni utożsamia się z tensorami typu tj. traktuje jako wektory o górnych wskaźnikach (wektory kontrawariantne),
(2) wektory przestrzeni dualnej (tj. przestrzeni rozpiętej na bazie dualnej do bazy przestrzeni ) – to tensory typu czyli wektory o dolnych wskaźnikach (wektory kowariantne),
(3) przyjmuje się, że tensory typu to skalary (elementy ciała ).
Definicja rzędu, typu tensora Mówimy, że tensor jest typu rzędu -krotnie kontrawariantny i -krotnie kowariantny kontrawariantny – jeżeli ma tylko górne wskaźniki kowariantny – jeżeli ma tylko dolne wskaźniki
Przestrzeń tensorowa Definicja dodawania tensorów i mnożenia przez liczbę Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem
(1) Sumą tensorów nazywa się tensor taki że wartość jego działania na dowolnych wektorów przestrzeni oraz dowolnych wektorów przestrzeni jest równa sumie działań każdego z tensorów z osobna na tych wektorach, tj.