mały|Istnieje pięć wielościanów foremnych (brył platońskich)
Wielościan foremny a. bryła platońska – wielościan, w którym: wszystkie ściany są przystające i foremne; wszystkie kąty wielościenne są równe.
Wielościany foremne są szczególnym przypadkiem wielościanów półforemnych (archimedesowskich), w których foremne ściany nie muszą być identyczne (tj. wzajemnie przystające).
Przypadek trójwymiarowowy Lista Istnieje pięć wielościanów foremnych (z dokładnością do podobieństwa):
Nazwa Nazwa greckaGrafikaŚciana LiczbaścianLiczbakrawędziLiczbawierzchołkówKąt dwuściennyczworościantetraedr80px|Czworościan foremnytrójkąt foremny(równoboczny) 4 6 4sześcianheksaedr80px|Sześcianczworokąt foremny(kwadrat) 6 12 8ośmiościanoktaedr80px|Ośmiościan foremnytrójkąt foremny(równoboczny) 8 12 6dwunastościandodekaedr80px|Dwunastościan foremnypięciokąt foremny 12 30 20dwudziestościanikosaedr80px|Dwudziestościan foremnytrójkąt foremny(równoboczny) 20 30 12
Dowody zupełności listy Pierwszy z dowodów opiera się na analizie łącznej liczby kątów wewnętrznych ścian zbiegających się przy dowolnym wierzchołku. ścianakątwewnętrznyścianyliczba ścianprzywierzchołku⩾3wielokrotność kąta<360°nazwauwagi trójkąt 60°3180°czworościan foremny4240°ośmiościan foremny5300°dwudziestościan foremnyostatni z tej serii, bo 6·60°≥360°kwadrat90°3270°sześcianjedyny z tej serii, bo 4·90°≥360°pięciokąt108°3324°dwunastościan foremnyjedyny z tej serii, bo 4·108°≥360°sześciokąt i następne≥120°3≥360° –żaden z tej i następnych serii,bo 3·120°≥360°
Drugi mniej elementarny dowód powołuje się na twierdzenie Eulera o wielościanach:
gdzie oznacza liczbę wierzchołków wielościanu, liczbę jego ścian, a liczbę krawędzi.
Ponieważ każda ściana jest n-kątem foremnym, a każda krawędź należy do dwóch ścian, mamy
Z kolei z każdego wierzchołka wychodzi krawędzi, z których każda łączy dwa wierzchołki, a zatem
Po wyznaczeniu z dwóch ostatnich zależności i
i po podstawieniu ich do wzoru Eulera dostaniemy
Przekształcając otrzymamy kolejno
oraz
Ponieważ oraz przez rozpatrzenie wszystkich przypadków otrzymuje się następujące możliwości:
nazwa 1·133czworościan foremny 2·143sześcian 1·234ośmiościan foremny 1·335dwudziestościan foremny 3·153dwunastościan foremny
Oczywiście znając można wyznaczyć korzystając ze wzoru Eulera i zależności oraz
Widać też dualność wielościanów przy wzajemnej zamianie i
Historia Wielościany foremne nazywane są także bryłami platońskimi, gdyż Platon jako pierwszy odnotował fakt istnienia ściśle określonej ich liczby. Do jego czasów znano jednak jedynie cztery z nich. Sam Platon, pisząc Timajosa, nie wspomina jeszcze o dwunastościanie. Ten ostatni został odkryty dopiero przez TeajtetosaTeajtet bardziej jest znany z odkrycia ułamków łańcuchowych. (ucznia Platona).
Bryły platońskie poruszały wyobraźnię wielu myślicieli i filozofów. Były też wykorzystywane przez nich w rozważaniach kosmologicznych.
W dialogu Timajos Platon pisał, że każdy żywioł można utożsamić z jedną z doskonałych brył (ogień – czworościan, ziemia – sześcian, powietrze – ośmiościan, woda – dwudziestościan). Po odkryciu dwunastościanu foremnego włączył go do swojego systemu jako symbol całego wszechświataMatematyka dla humanistów – Michał Szurek..
Niemal 2 tysiące lat później, w XVII wieku Kepler użył wielościanów foremnych do swojego modelu kosmologicznego. Jeśli bowiem na sferze o promieniu orbity Merkurego opisać ośmiościan, a na nim opisać następną sferę, to jej promień odpowiadać będzie promieniowi orbity Wenus. Jeśli na tej drugiej sferze opisać dwudziestościan, a na nim kolejną trzecią sferę, to jej promień odpowiada promieniowi orbity Ziemi. I tak kolejno dla następnych wielościanów foremnych i planet: dwunastościan – Mars, czworościan – Jowisz, sześcian – SaturnW czasach Keplera ostatnią znaną planetą był Saturn. Przyjmowane przez Keplera promienie orbit nie były zbyt dokładne.. Było to pierwsze z odkrytych przez Keplera praw ruchu planet, nie uznane wszakże za prawo natury w dzisiejszym rozumieniu nauki. Odkryta prawidłowość utwierdziła Keplera w głębokim przekonaniu, że Bóg jest matematykiem.
Uogólnienie na wielokomórki foremne Pojęcie wielościanu foremnego można w naturalny sposób uogólnić definiując wielokomórkę foremną w dowolnej przestrzeni n-wymiarowej euklidesowej, oznaczanej .
Przestrzeń czterowymiarowa thumb|foremna 5-komórka thumb|foremna 8-komórka (oktachoron) thumb|foremna 16-komórka thumb|foremna 24-komórka thumb|foremna 120-komórka thumb|foremna 600-komórka
Udowodniono, że dla n=4 istnieje dokładnie 6 wielokomórek foremnych:
NazwaLiczba ściantrójwymiarowych(brył foremnych)Liczba ściandwuwymiarowych(wielokątówforemnych)LiczbakrawędziLiczbawierzchołkówWielokomórkadualnaforemna 5-komórka(4-wymiarowy sympleks)5 czworościanów10 trójkątów105 samodualnaforemna 8-komórka(4-wymiarowy hipersześcian)8 sześcianów24 kwadratów3216 16-komórkaforemna 16-komórka16 czworościanów32 trójkątów248 8-komórkaforemna 24-komórka24 ośmiościanów96 trójkątów9624 samodualnaforemna 120-komórka120 dwunastościanów720 pięciokątów1200600 600-komórkaforemna 600-komórka600 czworościanów1200 trójkątów720120 120-komórka
Wyższe wymiary Dla dowolnego naturalnego udowodniono, że w przestrzeni istnieją dokładnie trzy wielokomórki foremneMathematical puzzles and diversions – Martin Gardner.:
NazwaLiczba (n-1)-wymiarowych ścianLiczba k-wymiarowych ścian, 0≤k≤n-1Wielokomórkadualnan-wymiarowy sympleks foremny (n-1)-wymiarowych sympleksów k-wymiarowych sympleksówsamodualnan-wymiarowy hipersześcian (n-1)-wymiarowych hipersześcianów k-wymiarowych hipersześcianów2n-komórkan-wymiarowa 2n-komórka foremna (n-1)-wymiarowych sympleksów k-wymiarowych sympleksówhipersześcian
Ponadto, uogólnione objętości i powierzchnie powyższych trzech wielokomórek foremnych to funkcje holomorficzne wymiaru zespolonego . Wielokomórki te są zatem zdefiniowane w każdym wymiarze.
Można też rozpatrywać przypadki „Wielokomórka” w przestrzeni 2-wymiarowej to wielokąt foremny; istnieje ich nieskończenie wiele, gdyż dla każdego istnieje -kąt foremny. Z kolei „wielokomórka” w przestrzeni 1-wymiarowej zawsze ma jeden i ten sam kształt – to odcinek i można go traktować jako „foremny”.
Zobacz też węglowodory platońskie
Uwagi
Przypisy
Linki zewnętrzne Grażyna Kiełczykowska, Bryły platońskie, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-05-20].
[dostęp 2023-06-18].