thumb|300px|Trójkąt prostokątnya, b – długości przyprostokątnych,c – długość przeciwprostokątnej,α, β – miary kątów ostrych,h – długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną

Trójkąt prostokątny – trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty.

Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną.

Szczególnym rodzajem trójkąta prostokątnego jest trójkąt pitagorejski, tj. taki, w którym długości boków są liczbami naturalnymi. Najprostszy z nich to trójkąt egipski o stosunkach długości boków 3:4:5Znany był w starożytnym Egipcie (stąd nazwa), w piramidzie Cheopsa znajduje się komnata królewska o wymiarach: 3, 4, 5..

Trójkąt prostokątny jest figurą, na której opierają się podstawowe definicje funkcji trygonometrycznych kątów przy przeciwprostokątnej.

Własności geometryczne środek przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym; przyprostokątne trójkąta prostokątnego są jego wysokościami; symetralne przyprostokątnych są liniami środkowymi; środkowa opuszczona na przeciwprostokątną dzieli trójkąt na dwa trójkąty równoramienne; wysokość trójkąta opuszczona na przeciwprostokątną dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Powstałe trójkąty są podobne tak do siebie, jak i całego trójkąta.

Związki metryczne Pole powierzchni Dane jest wzorami:

Długości odcinków Boki trójkąta prostokątnego spełniają twierdzenie Pitagorasa; Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną ma długość:

Drugi wzór to średnia geometryczna długości odcinków, na które spodek wysokości dzieli przeciwprostokątną. Promień okręgu opisanego wyraża się wzorem: Promień okręgu wpisanego wyraża się wzorem: Dowód: Zgodnie z wzorem na różnicę kwadratów: Z twierdzenia Pitagorasa wynika: Zatem z wzorów na pole trójkąta: i Niech oznaczają promienie okręgów wpisanych w trójkąty, na które dzieli go wysokość. Wówczas zachodzą równości:

Dowód: Z wzoru na promień okręgu wpisanego: gdzie to długości odcinków, na które wysokość dzieli Zatem

co wynika z twierdzenia Pitagorasa i podobieństwa trójkątów. Niech oznaczają promienie okręgów dopisanych. Wówczas są spełnione:

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Artykuły w czasopiśmie „Delta” [dostęp 2025-12-01]: Kamil Rychlewicz i Mariusz Skałba, Najłatwiejsze zadanie?, grudzień 2016. Joanna Jaszuńska, Środek przeciwprostokątnej, sierpień 2017. Patryk Ragan, Nietypowy wzór na pole, grudzień 2025. [dostęp 2023-06-01].

prostokątny