thumb|300px|Punkt jest punktem wewnętrznym figury

Wnętrze zbioru (figury, bryły) – pojęcie w geometrii lub topologii; zbiór punktów wewnętrznych podzbioru przestrzeni, czyli tych punktów, które należą do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem.

Wnętrze zbioru oznacza się przez lub

Własności Z definicji wnętrza zbioru wynikają bezpośrednio poniższe jego własności. Wnętrze zbioru jest otwartym podzbiorem Wnętrze jest sumą wszystkich otwartych podzbiorów Wnętrze jest największym zbiorem otwartym zawartym w . Zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest swoim własnym wnętrzem. Wnętrze dowolnego zbioru równe jest swojemu wnętrzu: Jeżeli jest podzbiorem to jest podzbiorem Wnętrze części wspólnej zbiorów jest częścią wspólną wnętrz tych zbiorów: Jeżeli jest zbiorem otwartym, to jest podzbiorem wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzbiorem

Wnętrze zbioru zależy od topologii – jeżeli na przestrzeni dane są dwie różne topologie, to ten sam zbiór może być wnętrzem w jednej topologii, a w innej nie.

W przestrzeni metrycznej punkt zbioru jest punktem wewnętrznym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje kula o środku w punkcie całkowicie zawarta w zbiorze

Pozostałe własności dla dowolnych zbiorów dla dowolnej rodziny zbiorów Dla każdego mamy przykład:

Operacja wnętrza a topologia Jeżeli operację brania wnętrza zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia warunki 5, 6, 7 oraz warunek gdzie oznacza całą przestrzeń, to może ona posłużyć do zdefiniowania topologii przez operację wnętrza w zbiorze .

Przykłady W dowolnej przestrzeni wnętrze zbioru pustego jest zbiorem pustym, a wnętrzem całej przestrzeni jest przestrzeń. W przestrzeni dyskretnej każdy zbiór jest swoim wnętrzem. Niech oznacza zbiór liczb rzeczywistych z naturalną topologią. Wówczas: wnętrzem przedziału domkniętego jest przedział otwarty wnętrzem przedziału jest przedział wnętrzem zbioru skończonego jest zbiór pusty wnętrzem zbioru liczb wymiernych jest zbiór pusty wnętrzem zbioru liczb niewymiernych także jest zbiór pusty zbiór ma niepuste wnętrze wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera pewien przedział.

Zobacz też brzeg zewnętrze

Przypisy

Bibliografia

Kategoria:Topologiczne operacje na zbiorach Kategoria:Geometria