mały|Proste równoległe przecinają ramiona kąta mały|Proste równoległe przecinają ramiona kątów wierzchołkowych
Twierdzenie Talesa – twierdzenie geometrii euklidesowej, konkretniej planimetrii, obowiązujące też w geometrii afinicznej. Dotyczy ono stosunków długości odcinków utworzonych przez cztery proste, z których dwie są do siebie równoległe, a pozostałe dwie – nie.
Tradycja przypisuje jego sformułowanie Talesowi z Miletu.
Treść Postać z kątem Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi nieprzechodzącymi przez wierzchołek kąta, to odpowiednie odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta.
Przy oznaczeniach na rysunku obok.
Jeśli
to zachodzi każda z trzech równości: .
Trzy równości można połączyć w jedną potrójną równość:
Uwaga Twierdzenie zachodzi również, jeśli proste równoległe przecinają ramiona kątów wzajemnie wierzchołkowych.
Postać bez kąta mały
Twierdzenie może być sformułowane bez użycia pojęcia kąta:
Jeśli wiązka prostych parami równoległych przecina dwie nierównoległe do siebie proste to odpowiednie odcinki wyznaczone przez tę wiązkę na prostej są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez tę wiązkę na prostej
lub jeszcze ogólniej Rzutowanie równoległe zachowuje proporcje długości na prostych, tzn. stosunek długości odcinków współliniowych jest niezmiennikiem rzutowania równoległego.
Twierdzenie odwrotne Zachodzi również następujące twierdzenie odwrotne.
Jeśli ramiona kąta o wierzchołku przecięte są dwiema prostymi przy czym punkty należą do jednego ramienia kąta, punkty do drugiego oraz:
to tzn. proste są równoległe.
Uwaga Gdyby warunek w założeniu zastąpić np. następującym:
to założenia należałoby uzupełnić o informacje o uporządkowaniu punktów, np. punkt leży między punktami punkt leży między punktami
Dowody Dowód na gruncie geometrii syntetycznej (szkic) twierdzenie Talesa można dowieść korzystając z przejścia granicznego i dobrze określonej miary (np. Lebesgue’a na płaszczyźnie): stosunkowo łatwy jest dowód, gdy podobnie gdy podzieli się odcinki w stosunku wymiernym, przypadek niewymierny dowodzi się przez przybliżenia za pomocą przejścia granicznego.
Dowód na gruncie geometrii afinicznej Niech wektory będą liniowo niezależne i niech dla pewnych tzn.
Jeśli czyli dla pewnego to
Przyrównując skrajne wyrażenia, redukując i porządkując:
Ponieważ są liniowo niezależne, więc czyli Stąd
Odwrotnie, jeśli czyli to
Stąd
Dowód Euklidesa mały|Ilustracja dowodu Euklidesa
Najstarszy zachowany dowód twierdzenia Talesa zamieszczony jest w VI. księdze Elementów Euklidesa.
Dowód oparty jest na dwóch lematach: Jeśli dwa trójkąty mają równe wysokości, to stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości ich podstaw. Jeśli dwa trójkąty mają wspólną podstawę i równe wysokości, to ich pola są równe.
Dowód Niech oznacza pole powierzchni trójkąta
Trójkąty i mają wspólną wysokość więc na mocy lematu 1.:
Dodatkowo trójkąty i mają wspólną podstawę i równe wysokości dlatego na mocy lematu 2: stąd
Trójkąty i mają wspólną wysokość, więc zgodnie z lematem 1:
Przyrównując do siebie te równości otrzymuje się
co kończy dowód.
Uwaga W powyższym rozumowaniu korzysta się z faktu, iż pole trójkąta liczone dla jednego boku jako podstawy i opuszczonej na niego wysokości jest równe polu liczonemu dla innego boku jako podstawy i opuszczonej na ten bok wysokości. Jest to dość silna własność funkcji pola (wyżej korzysta się z niej w drugim zdaniu dowodu), jednak nie jest ona niezbędna do dowiedzenia twierdzenia Talesa i w szkolnej matematyce cicho się ją zakłada. Notabene własność tę można udowodnić właśnie z twierdzenia Talesa. To prowadzi do błędnego koła.
Wniosek mały|proste równoległe przecinają ramiona kąta
Przy oznaczeniach na rysunku obok.
Jeśli
to zachodzi każda z dwóch równości:
Dwie równości można połączyć w jedną potrójną równość:
Zastosowania Podział odcinka w danym stosunku mały|Podział odcinka w danym stosunku
Poniższa konstrukcja była podstawą greckiej arytmetyki – pozwalała mnożyć i dzielić odcinki, utożsamiane przez Greków z liczbami.
Zadanie Dane są dwa odcinki o długościach i Dany odcinek podziel w stosunku
RozwiązanieZ punktu należy poprowadzić dwie niewspółliniowe półproste. Na jednej z nich odkładamy kolejno długości i a na drugiej odcinek Prowadzimy prostą przez punkt leżący w odległości na pierwszej półprostej oraz punkt leżący na drugiej, a następnie prostą do niej równoległą przechodzącą przez punkt leżący na drugiej półprostej w odległości od punktu która wyznacza na prostej punkt Punkt ten dzieli odcinek w stosunku gdyż z twierdzenia Talesa wynika, że
Zobacz też
twierdzenie van Aubela twierdzenie Cevy twierdzenie Menelaosa twierdzenie Pitagorasa
Przypisy
Linki zewnętrzne Henryk Dąbrowski, Twierdzenie Talesa, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2026-04-07]. Paweł Dziuba, Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2026-04-07].
Kategoria:Proporcje Talesa