Jeśli czyli dla pewnego to
Przyrównując skrajne wyrażenia, redukując i porządkując:
Ponieważ są liniowo niezależne, więc czyli Stąd
Odwrotnie, jeśli czyli to
Stąd
Dowód Euklidesa mały|Ilustracja dowodu Euklidesa
Najstarszy zachowany dowód twierdzenia Talesa zamieszczony jest w VI. księdze Elementów Euklidesa.
Dowód oparty jest na dwóch lematach: Jeśli dwa trójkąty mają równe wysokości, to stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości ich podstaw. Jeśli dwa trójkąty mają wspólną podstawę i równe wysokości, to ich pola są równe.
Dowód Niech oznacza pole powierzchni trójkąta
Trójkąty i mają wspólną wysokość więc na mocy lematu 1.:
Dodatkowo trójkąty i mają wspólną podstawę i równe wysokości dlatego na mocy lematu 2: stąd
Trójkąty i mają wspólną wysokość, więc zgodnie z lematem 1:
Przyrównując do siebie te równości otrzymuje się
co kończy dowód.