Wymiar Minkowskiego, szerzej znany jako wymiar pudełkowy () lub wymiar Minkowskiego-Bouliganda – jeden z podstawowych sposobów definiowania wymiaru fraktalnego dla zbiorów ograniczonych w przestrzeni metrycznej, najczęściej w euklidesowej . Nazwa upamiętnia niemieckiego matematyka Hermanna Minkowskiego oraz francuskiego matematyka Georgesa Bouliganda, który opisał tę koncepcję w latach 20. XX wieku.
W przeciwieństwie do wymiaru Hausdorffa, wymiar pudełkowy opiera się na idei systematycznego zliczania elementów siatki (pudełek), co czyni go znacznie łatwiejszym do wyznaczenia za pomocą metod numerycznych i algorytmów komputerowych.
Intuicja Podstawową ideą wymiaru pudełkowego jest sprawdzenie, jak szybko rośnie liczba elementów potrzebnych do pokrycia zbioru wraz ze zmniejszaniem ich rozmiaru (skalowaniem). Wyobraźmy sobie nałożenie na zbiór siatki o boku Liczba „pudełek” które zawierają fragment zbioru, rośnie wraz ze zmniejszaniem : Dla odcinka (wymiar 1): zmniejszenie dwukrotnie powoduje 2-krotny wzrost liczby pudełek . Dla kwadratu (wymiar 2): zmniejszenie dwukrotnie powoduje 4-krotny wzrost liczby pudełek . Dla fraktali: liczba pudełek rośnie według wykładnika, który nie musi być liczbą całkowitą, co pozwala na numeryczne określenie stopnia skomplikowania struktury.
Definicja formalna Niech będzie zwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej Niech oznacza minimalną liczbę zbiorów o średnicy co najwyżej które są potrzebne do pokrycia zbioru . Wymiar pudełkowy definiuje się jako granicę:
Górny i dolny wymiar pudełkowy Jeżeli powyższa granica nie istnieje, stosuje się pojęcia granicy górnej i dolnej, co prowadzi do definicji dwóch parametrów pomocniczych:
Górny wymiar pudełkowy (często nazywany pojemnością Kołmogorowa lub wymiarem entropijnym):
Dolny wymiar pudełkowy:
Wymiar pudełkowy istnieje tylko wtedy, gdy obie te wartości są sobie równe.
Metody wyznaczania Istnieje kilka równoważnych sposobów definiowania liczby które w granicy dają ten sam wynik wymiaru: Siatka (ang. grid-counting): to liczba oczek siatki o boku które mają niepusty przekrój ze zbiorem. Najmniejsze pokrycie kulami: Minimalna liczba kul o promieniu pokrywających zbiór. Maksymalne upakowanie kul: Maksymalna liczba rozłącznych kul o promieniu z centrami wewnątrz zbioru .
Przykład: Zbiór Cantora Klasyczny zbiór Cantora powstaje przez sukcesywne usuwanie środkowej części odcinka. W każdym -tym kroku konstrukcji mamy odcinków o długości . Podstawiając do wzoru:
Właściwości i relacje Porównanie z wymiarem Hausdorffa Dla każdego zbioru zachodzi relacja:
Wymiar pudełkowy zbioru jest taki sam jak jego domknięcia . Przykład: Zbiór liczb wymiernych w przedziale Jego wymiar Hausdorffa wynosi 0 (jako zbiór przeliczalny), ale jego wymiar pudełkowy wynosi 1, ponieważ zbiór ten jest gęsty i jego domknięciem jest cały odcinek.
Pozostałe cechy Monotoniczność: Jeśli to . Niezmienniczość: Wymiar nie zmienia się przy przekształceniach lipschitzowskich (np. przesunięcia, obroty, skalowanie).
Zastosowania praktyczne Ze względu na łatwość implementacji numerycznej (algorytm box-counting), wymiar ten jest standardem w naukach stosowanychEric W. Weisstein: Minkowski-Bouligand Dimension. W: MathWorld [on-line]. Wolfram Research. (ang.).:
Dziedzina Zastosowanie Źródło Medycyna Analiza stopnia unaczynienia nowotworów (angiogeneza) oraz struktury płuc. Inżynieria Badanie chropowatości powierzchni materiałów w skali mikro i nano. Informatyka Rozpoznawanie tekstur w obrazach cyfrowych i kompresja fraktalna. Ekologia Opis złożoności systemów korzeniowych i struktury korony drzew.
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Geometria fraktalna