Macierz Hadamarda – macierz kwadratowa, której elementami są liczby +1 lub –1, a jej kolumny (i równoważnie – wiersze) są parami ortogonalne.
W kategoriach geometrycznych oznacza to, że każda para wierszy w macierzy Hadamarda reprezentuje wektory wzajemnie prostopadłe. Równoległościan rozpięty przez wektory macierzy Hadamarda n × n ma wymiar n i ma on maksymalną objętość wśród równoległościanów utworzonych przez n wektorów, mających długości nie większe niż 1. Równoważnie, macierz Hadamarda ma maksymalny wyznacznik wśród macierzy z elementami o wartości bezwzględnej mniejszej lub równej 1.
Macierz Hadamarda o n wierszach i n kolumnach oznacza się zwykle symbolem Nazwa macierzy pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka Jacques’a Hadamarda.
Przykłady
W powyższej macierzy oznacza liczbę natomiast liczbę
Macierz Hadamarda wymiaru można uzyskać z macierzy Hadamarda wymiaru za pomocą wzoru:
Macierze zostały skonstruowane powyższą metodą, natomiast macierz nie (rzeczywista macierz Hadamarda rzędu 6 nie istnieje).
Właściwości macierzy Hadamarda gdzie jest macierzą jednostkową rzędu Macierz pozostaje macierzą Hadamarda po pomnożeniu dowolnego wiersza lub kolumny przez Macierz transponowana do macierzy Hadamarda jest macierzą Hadamarda. Macierz Hadamarda jest macierzą ortogonalną.
Bibliografia J. Hadamard, Résolution d’une question relative aux déterminants, Bull. Sci. Math. 2, s. 240–246 (1893). J. J. Sylvester, Thoughts on Inverse Orthogonal Matrices, Simultaneous Sign-Successions, and Tesselated Pavements in Two or More Colours, with Applications to Newton’s Rule, Ornamental Tile-Work, and the Theory of Numbers, London Edinburgh and Dublin, Philos. Mag. and J. Sci. 34, s. 461–475 (1867).
Linki zewnętrzne
Hadamard matrix , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].
H