Notacja Diraca (nawiasy Diraca, notacja bra-ket) – wprowadzony w 1939 przez Paula Diraca do mechaniki kwantowej sposób zapisywania działania form liniowych na stany kwantowe.
tzw. ket, zapisywany „”, oznacza wektor w zespolonej przestrzeni liniowej (zwykle przestrzeni Hilberta); fizyczna interpretacja to stan kwantowy pewnego układu.
tzw. bra, zapisywane „”, oznacza funkcjonał liniowy na przestrzeni (gdy jest przestrzenią Hilberta, zapis ten oznacza zwykle ciągły funkcjonał liniowy).
Działanie funkcjonału na wektorze zapisywane jest jako
Nazwy te biorą się z oznaczania iloczynu skalarnego dwóch stanów za pomocą nawiasu Po angielsku nawias to bracket, i stąd lewa i prawa część nawiasu to odpowiednio bra i ket. Notacja Diraca inspirowana była notacją używaną przez Grassmanna w operacjach na iloczynie skalarnym prawie 100 lat wcześniej.
Przestrzeń wektorowa Wstęp
Aby lepiej wyobrazić sobie, czym jest notacja Diraca, dobrze jest rozpatrzyć wektor w trójwymiarowej przestrzeni wektorowej rozpiętej nad ciałem liczb rzeczywistych, co zapiszemy:
Wektor może być zapisany jako liniowa kombinacja wektorów bazowych:
gdzie wektory są liniowo niezależne (a więc tworzą bazę), a liczby to odpowiadające im współrzędne.
W ogólności kiedy wektor znajduje się w N-wymiarowej przestrzeni wektorowej nad ciałem (gdzie to np. lub ), wektor jest nadal kombinacją liniową wektorów bazowych:
Jednak może być wektorem w zespolonej przestrzeni Hilberta, a taka przestrzeń może mieć nieskończoną liczbę wymiarów. Wtedy w reprezentacji macierzowej byłoby nieskończenie wiele współrzędnych zespolonych. Przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń .
Notacja ket Zamiast używać standardowych symboli, notacja Diraca używa dla wektorów pionowych kresek i trójkątnych nawiasów: Tak zapisane wektory nazywają się ket, a czytane jako ket-A. Można zapisać rozważany poprzednio wektor jako
co można zapisać w skrócie
gdzie oznaczają odpowiednio wektory jednostkowe
Iloczyn skalarny i notacja ket
Iloczynem skalarnym dwóch wektorów jest liczba zespolona. Notacja Diraca posiada specjalny zapis dla iloczynu skalarnego
W trójwymiarowej przestrzeni zespolonej z półtoraliniowym iloczynem skalarnym (jak przestrzeń )
gdzie oznacza sprzężenie zespolone. W przypadku, gdy iloczyn skalarny jest kwadratem długości tego wektora
W notacji Diraca iloczyn skalarny można podzielić na dwie części, „bra” i „ket”
gdzie nazywane jest bra i czytane jako bra-A, a to ket.
Powodem, dla którego dzielimy iloczyn skalarny na bra i ket, jest to, iż obydwa obiekty mają swój własny sens i mogą być użyte w innym kontekście niż w iloczynie skalarnym. Można o nich myśleć na dwa sposoby.
Bra i kety jako macierze Dla przestrzeni wektorowej o skończonej liczbie wymiarów, używając ustalonych wektorów jednostkowych, iloczyn skalarnych można zapisać jako mnożenie macierzy postaci
Na tej podstawie można zdefiniować bra jako:
Sprzężenie hermitowskie bra to odpowiadające mu ket i vice versa:
ponieważ jeśli zastosuje się sprzężenie zespolone i transpozycje macierzy, to z:
otrzyma się:
Bra jako operator liniowy na ket
Równoważną definicją jest przyjęcie, że bra jest funkcjonałem linowym na ket, czyli operatorem, który z ket produkuje liczbę zespoloną.
Inaczej mówiąc, przestrzeń wektorowa bra jest przestrzenią dualną do przestrzeni wektorowej ket, a odpowiadające sobie ket i bra są w relacji według twierdzenia Riesza.
Zastosowanie w mechanice kwantowej Aparat matematyczny mechaniki kwantowej w dużej części bazuje na algebrze liniowej: Funkcje falowe i stany kwantowe mogą być przedstawione jako wektory w zespolonej przestrzeni Hilberta. (Szczególna struktura tej przestrzeni zależy od wybranej sytuacji). Przykładowym stwierdzeniem wykorzystującym notację Diraca mogłoby być „Elektron znajduje się w stanie ”. (Technicznie stany kwantowe są kierunkami wektorów w przestrzeni Hilberta; oznacza to, że stan c odnosi się do tego samego stanu dla każdego zespolonego c). Superpozycje stanów kwantowych mogą być opisane jako suma wektorów stanów składowych. Przykładowo stan elektronu jest superpozycją stanów i Pomiary w mechanice kwantowej są związane z operatorami liniowymi (zwanych obserwablami) w przestrzeni Hilberta stanów kwantowych. Normalizacja funkcji falowej ustala jej normę na 1.
Praktycznie wszystkie obliczenia w mechanice kwantowej zawierają wektory i operatory liniowe, dlatego można do nich wykorzystywać notację bra-ket. Pokazują to następujące przykłady:
Oznaczenia w notacji Diraca wektory bazowe oznacza się: gdzie wektory bazowe sprzężone hermitowsko: oraz iloczyn skalarny wektorów z bazy ortonormalnej i wektorów z bazy
iloczyn tensorowy wektorów bazowych:
iloczyn zewnętrzny wektorów bazowych:
sprzężenie hermitowskie iloczynu tensorowego:
wektor o współrzędnych zapisany w bazie
Inne wektory bazowe można oznaczyć na przykład:
Operatory (macierze) oznacza się na przykład operator jednostkowy:
Operator rzutowy
Przypisy
Linki zewnętrzne Notacja Diraca J.H. Przytycki, Płaszczyzna kwantowa i q-wielomian drzew z korzeniem, arxiv.org/1512.03080.
Kategoria:Mechanika kwantowa Kategoria:Algebra liniowa Kategoria:Teoria informacji Kategoria:Paul Dirac