У теорії ймовірностей і статистиці обернений гамма-розподіл — це двопараметрічна сім’я неперервних розподілів ймовірностей на додатній дійсній півосі, що є розподілом оберненої до змінної, що має гамма-розподіл. Мабуть, найбільше обернений гамма-розподіл використовується в баєсівській статистиці, де такий розподіл виникає як граничний апостеріорний розподіл для невідомої дисперсії нормального розподілу, якщо використовується неінформативний апріор, і як аналітично виражений спряжений апріор у випадку інформативного апріорного розподілу.
Однак серед баєсівців прийнято розглядати альтернативну параметризацію нормального розподілу з точки зору точності, що визначається як зворотна величина дисперсії, що дозволяє використовувати гамма-розподіл безпосередньо як спряжений апріор. Інші баєсівці вважають за краще параметрізувати зворотний гамма-розподіл інакше, як масштабований обернений розподіл хі-квадрат.
Характеристика
Функція щільності Функція щільності ймовірності оберненого гамма-розподілу визначається на носії
з параметром форми і параметром масштабу . Тут позначає гамма-функцію.
На відміну від гамма-розподілу, який містить дещо подібний експоненціальний член, є параметром масштабу, оскільки функція розподілу задовольняє умову:
Функція розподілу Функція розподілу є регуляризованою гамма-функцією
де чисельник — це верхня неповна гамма-функція, а знаменник — гамма-функція. Багато математичних пакетів дозволяють безпосередньо обчислити , регуляризовану гамма-функцію.
Моменти За умови, що , -й момент оберненого гамма-розподілу задається формулою
Характеристична функція у виразі характеристичної функції є модифікованою функцією Бесселя 2-го роду.
Властивості Для і ,
і
Інформаційна ентропія обислюється наступним чином
де — дигамма функція.
Розбіжність Кульбака-Лейблера оберненої-гамми ( α p, β p ) від оберненої-гамми ( α q, β q ) така сама, як і KL-розбіжність гамма ( α p, β p ) від гамма ( α q, β q ):
де є щільностями обернених гамма-розподілів та є щільностями гамма-розподілів, має Гамма( α p, β p ) розподіл.
Пов'язані розподіли
Якщо тоді Якщо тоді (обернений хі-квадрат розподіл) Якщо тоді (масштабований обернений хі-квадрат розподіл) Якщо тоді (розподіл Леві) Якщо тоді (експоненційний розподіл) Якщо ( Гамма-розподіл з параметром темпу ) тоді (Деталі див. виведення в наступному абзаці) Зверніть увагу, що якщо (Гамма-розподіл з параметром масштабу ) тоді Обернений гамма-розподіл є окремим випадком розподілу Пірсона 5го типу Багатовимірним узагальненням оберненого гамма-розподілу є обернений розподіл Вішарта. Про розподіл суми незалежних обернених гамма-змінних див. Witkovsky (2001)
Виведення з гамма-розподілу Нехай , і нагадаємо, що щільність гамма-розподілу
, .
Враховуючи, що – параметр темпу змін в гамма-розподілі.
Визначимо перетворення . Далі щільність записується
Зауважте, що – параметр масштабу для оберненого гамма-розподілу.
Поява
Розподіл часу відліку вінерівського процесу
Див. також
Гамма-розподіл Обернений розподіл хі-квадрат Нормальний розподіл
Примітки
Джерела Hoff, P. (2009). "A first course in bayesian statistical methods". Springer.