Стати́стика () — це дисципліна, що працює над збиранням, організуванням, аналізом, інтерпретуванням та представленням даних. Статистика // В застосуванні статистики до наукової, промислової або соціальної задачі є звичним починати з генеральної сукупності () або статистичної моделі для дослідження. Генеральні сукупності можуть бути різноманітними групами людей або об'єктів, такими як «всі люди, що живуть в якійсь країні» або «кожен з атомів, що складають кристал». Статистика працює зі всіма аспектами даних, включно з плануванням збирання даних в термінах планування обстежень () та експериментів.Dodge, Y. (2006) The Oxford Dictionary of Statistical Terms, Oxford University Press. Див. .

Коли зібрати дані перепису () неможливо, статистики збирають дані, розробляючи спеціальні плани експериментів (), та вибірки () для обстежування. Репрезентативне вибирання забезпечує можливість розумного розширення висновків та рішень з цієї вибірки на сукупність в цілому. Експериментальне дослідження () включає здійснення вимірювань досліджуваної системи, маніпулювання цією системою, а потім здійснення додаткових вимірювань із застосуванням тієї ж процедури, щоби визначити, чи змінило маніпулювання значення цих вимірювань. На противагу цьому, () не включає експериментального маніпулювання.

В аналізі даних використовують два основні статистичні методи: описову статистику (), яка узагальнює дані з вибірки із застосуванням , таких як середнє значення та стандартне відхилення, та індуктивну статистику (), яка робить висновки з даних, що піддаються випадковій мінливості (наприклад, похибкам спостережень, варіюванню вибірки). Описова статистика часто найбільше цікавиться двома наборами властивостей розподілу (вибірки або загальної сукупності): центральна тенденція (або положення) прагне схарактеризувати центральне або типове значення цього розподілу, тоді як дисперсія (або мінливість) характеризує міру, до якої члени цього розподілу відхиляються від його центру, та один від одного. Висновування в математичній статистиці здійснюють в рамках теорії ймовірностей, що займається аналізом випадкових явищ.

Стандартна статистична процедура включає збирання даних, що веде до перевірки взаємозв'язку між двома наборами статистичних даних, або набором даних та синтетичними даними, отриманими з ідеалізованої моделі. Для статистичного взаємозв'язку між двома наборами даних пропонують гіпотезу, і порівнюють її, як альтернативу, з ідеалізованою нульовою гіпотезою () про відсутність взаємозв'язку між цими двома наборами даних. Відхиляння або спростування нульової гіпотези здійснюють із застосуванням статистичних критеріїв (), що кількісно виражають сенс, в якому хибність нульової гіпотези можливо вважати доведеною за наданих даних, які використовують в цій перевірці. Працюючи від нульової гіпотези, розпізнаю́ть два основні види помилок: помилки I роду (нульову гіпотезу хибно відхиляють, що дає «хибно позитивне», ), та помилки II роду (нульову гіпотезу не вдається відхилити, й справжній взаємозв'язок між сукупностями втрачається, що дає «хибно негативне», ). З цією системою виявилося пов'язано численні проблеми: від отримування достатнього розміру вибірки, й до вказування адекватної нульової гіпотези.

Процеси вимірювання, що породжують статистичні дані, також піддаються помилкам. Багато з цих помилок класифікують як випадкові (шум, ) або систематичні (упередження, ), але можуть траплятися й інші типи помилок (наприклад, промахи, , такі як коли аналітик повідомляє неправильні одиниці вимірювання). Існування або може призводити до упереджених оцінок, й для подолання цих проблем було розроблено спеціальні методики.

Найраніші праці з імовірності та статистики, статистичних методів, що спираються на теорію ймовірностей, сходять до арабських математиків та , зокрема, Аль-Халіля (717—786) та Аль-Кінді (801—873). У XVIII сторіччі статистика також почала сильно живитися з диференціального та інтегрального числення. Останніми роками для вироблення цих критеріїв, таких як описовий аналіз, статистика покладалася більше на статистичне програмне забезпечення.

Вступ

Статистика — це математичний масив наукових знань, що стосуються збирання, аналізу, інтерпретування або пояснювання, та представлення даних,Moses, Lincoln E. (1986) Think and Explain with Statistics, Addison-Wesley, . pp. 1–3 або одна з галузей математики.Hays, William Lee, (1973) Statistics for the Social Sciences, Holt, Rinehart and Winston, p.xii, Дехто вважає статистику радше окремою математичною наукою, ніж галуззю математики. В той час як даними користуються багато наукових досліджень, статистика займається використанням даних в контексті невизначеності, та ухвалюванням рішень в умовах невизначеності.

В застосуванні статистики до задачі звичною практикою є починати з сукупності або процесу для дослідження. Сукупності можуть бути різноманітної тематики, такі як «всі люди, що мешкають у країні» або «кожен з атомів, що складають кристал». В ідеалі статистики збирають дані про всю сукупність (операція, звана переписом). Це може бути зорганізовано державними статистичними установами. Описову статистику можливо використовувати для узагальнювання даних про сукупність. До чисельних описувачів для неперервних типів даних (таких, як дохід) належать середнє значення та стандартне відхилення, тоді як в термінах описування категорійних даних (таких, як освіта) кориснішими є частота та відсоток.

Коли перепис є нездійсненним, досліджують обрану підмножину сукупності, звану вибіркою (). Щойно визначено вибірку, яка для цієї сукупності є репрезентативною, дані для членів цієї вибірки збирають у спостережній або експериментальній постановці. Знов-таки, для узагальнювання цих вибіркових даних можливо застосовувати описову статистику. Проте, вибирання вибірки мало елементи випадковості, тож встановлені чисельні описувачі з цієї вибірки залежать від випадковості. Щоби все ж таки робити змістовні висновки про сукупність в цілому, потрібна індуктивна статистика. Вона використовує закономірності в даних вибірки, щоби робити висновки про представлену нею сукупність, з урахуванням випадковості. Ці висновки можуть набувати вигляду: відповідання на питання «так/ні» (перевіряння гіпотез, ), оцінювання чисельних характеристик даних (оцінювання, ), описування пов'язаностей () в даних (кореляція), та моделювання взаємозв'язків всередині даних (наприклад, із застосуванням регресійного аналізу). Висновування може розширюватися до прогнозування, передбачування, та оцінювання неспостережуваних змінних чи то всередині досліджуваної сукупності, чи пов'язаних із нею; до нього можуть належати екстраполювання та інтерполювання часових рядів та просторових даних, а також добування даних.

Математична статистика

Математична статистика — це застосування математики до статистики. До математичних методик, які для цього використовують, належать математичний аналіз, лінійна алгебра, стохастичний аналіз, диференціальні рівняння та .

Історія

Найраніші праці з імовірності та статистики сходять до арабських математиків та Золотої доби ісламу між VIII та XIII сторіччями. Аль-Халіль (717—786) написав «Книгу таємної мови», що містить перше застосування з метою перелічування всіх арабських слів з голосними та без них. Найранішою книгою зі статистики є «Трактат про дешифрування криптографічних повідомлень», написаний арабським вченим Аль-Кінді (801—873). У своїй книзі Аль-Кінді навів докладний опис того, як застосовувати статистику та частотний аналіз для розшифровування зашифрованих повідомлень. Цей текст заклав основи статистики та криптоаналізу. Ibrahim A. Al-Kadi «The origins of cryptology: The Arab contributions», , 16(2) (April 1992) pp. 97–126. Аль-Кінді також здійснив найраніше з відомих застосування статистичного висновування, тоді як пізніші арабські криптографи розробили ранні статистичні методи для розкодовування зашифрованих повідомлень. (1187—1268) пізніше зробив важливий внесок стосовно застосування в частотному аналізі розміру вибірки.

Найраніші європейські праці зі статистики сходять до 1663 року, публікації «Природні та політичні спостереження на списках померлих» Джона Ґраунта.Willcox, Walter (1938) "The Founder of Statistics". Review of the International Statistical Institute 5(4): 321–328. Ранні застосування статистичного мислення оберталися довкола потреб держав () ґрунтувати політику на демографічних та економічних даних, звідси . На початку XIX сторіччя сфера дисципліни статистики розширилася, включивши збирання та аналіз даних в цілому. Натепер статистику широко застосовують в урядуванні, бізнесі, а також природничих та соціальних науках.

Математичні основи сучасної статистики було закладено в XVII сторіччі з розробкою Джироламо Карданом, Блезом Паскалем та П'єром Ферма теорії ймовірностей. Математична теорія ймовірностей постала з досліджень ігор випадку, хоч поняття ймовірності й було вже досліджено в середньовічному праві, та філософами, такими як Хуан Карамуель.J. Franklin, The Science of Conjecture: Evidence and Probability before Pascal, Johns Hopkins Univ Pr 2002 Метод найменших квадратів було вперше описано Адрієном-Марі Лежандром 1805 року.

Сучасна галузь статистики виникла наприкінці XIX — початку XX сторіччя в три етапи. Першу хвилю, на рубежі сторіч, очолила праця Френсіса Ґолтена та Карла Пірсона, які перетворили статистику на строгу математичну дисципліну, яку використовували для аналізу, і не лише в науці, але також і в промисловості та політиці. До внеску Ґолтена належать введення понять стандартного відхилення, кореляції, регресійного аналізу, та застосування цих методів до дослідження розмаїття людських характеристик — зросту, ваги, довжини вій тощо. Пірсон, серед іншого, розробив коефіцієнт кореляції моменту добутку Пірсона, визначений як момент добутку, метод моментів для допасовування розподілів до вибірок, та . Ґолтен та Пірсон заснували «» як перший журнал з математичної статистики та біостатистики (яку тоді називали біометрією), й пізніше заснували перший в світі університетський статистичний факультет в Університетськім коледжі Лондона.

Рональд Фішер під час експерименту «пані дегустує чай» закарбував термін нульова гіпотеза, яку «ніколи не доводять та не встановлюють, але, можливо, спростовують в ході експерименту».Fisher|1971|loc=Chapter II. The Principles of Experimentation, Illustrated by a Psycho-physical Experiment, Section 8. The Null Hypothesis OED quote: 1935 R.A. Fisher, ii. 19, "We may speak of this hypothesis as the 'null hypothesis', and the null hypothesis is never proved or established, but is possibly disproved, in the course of experimentation."

Початок другій хвилі 1910-х та 20-х років поклав , й вона досягла своєї кульмінації в осяяннях Рональда Фішера, який написав підручники, що мали визначити цю академічну дисципліну в університетах по всьому світі. Найважливішими публікаціями Фішера були його засаднича праця 1918 року «» (яка була першою, де було застосовано статистичний термін «дисперсія», ), його класична праця 1925 року «», та його «» 1935 року, де він розробив строгі моделі планування експериментів. Він започаткував поняття достатності, , лінійного розрізнювача Фішера та інформації за Фішером. У своїй книзі 1930 року «» він застосував статистику до різних біологічних понять, таких як принцип Фішера (що його назвав «імовірно найвизначнішим аргументом в еволюційній біології») та фішерова неконтрольованість,Fisher, R.A. (1915) The evolution of sexual preference. Eugenics Review (7) 184:192 Fisher, R.A. (1930) . Edwards, A.W.F. (2000) Perspectives: Anecdotal, Historial and Critical Commentaries on Genetics. The Genetics Society of America (154) 1419:1426 Andersson, M. and Simmons, L.W. (2006) Sexual selection and mate choice. Trends, Ecology and Evolution (21) 296:302 Gayon, J. (2010) Sexual selection: Another Darwinian process. Comptes Rendus Biologies (333) 134:144 поняття в статевім доборі про афект неконтрольованого зворотного зв'язку, що виникає в еволюції.