Квадратний корінь з трьох — додатне дійсне число, яке в другій степені дорівнює числу 3. Позначається як або 31/2. Квадратний корінь з трьох є ірраціональним числом. Його також називають константою Феодора на честь давньогрецького математика Феодора Кіренського, який довів ірраціональність даного числа.

Станом на грудень 2013, його значення обчислили з точністю більше ніж десять мільйонів десяткових знаків. Перші 65 десяткових знаків : 1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 55806 Дріб (...) можна використати як наближення. Незважаючи на те що знаменник 56 є меншим за 100, значення виразу відрізняється від менше ніж на (близько ). Округлене значення 1.732 точне в межах 0.01 % від справжнього значення.

Архімед знайшов проміжок для його значення: ;. нижня границя точна до (шість десяткових знаків), верхня до (чотири десяткових знаки).

Способи обчислення Ланцюговим дробом можна виразити ланцюговим дробом .

Отже якщо:

то коли :

Доведення ірраціональності Методом Ферма

Це доведення ірраціональності числа використовує метод нескінченного спуску Ферма:

Припустимо що є раціональним числом, і виразимо його в формі повністю спрощеного дробу форми , де та - натуральні числа.

Помножимо чисельник та знаменник на і отримаємо рівнозначний вираз:

де  — найбільше ціле число менше ніж . Зверніть увагу, що чисельник та знаменник множаться на число менше 1.

Розкриємо дужки:

З припущення отримаємо, що можна замінити на :

Далі замінимо на в знаменнику:

Квадрат числа можна замінити на 3, а спростити до :

Отже можна виразити меншим дробом ніж як (оскільки в першому кроці ми зменшили величину чисельника та знаменника, і наступні кроки не змінили їх) , що заперечує припущення про те, що складався з найменших можливих чисел.

Інші способи В альтернативному способі доведення, припустимо, що   де   повністю скорочений дріб:

Помножимо на обидві частини, тоді піднесемо до квадрату та отримаємо:

Оскільки ліву частину можна поділити на 3, те саме можна сказати і про праву: повинне ділитись на 3. Тоді, можна виразити як :

Поділивши обидві частини на 3 отримаємо:

Оскільки праву частину можна поділити на 3, те саме можна сказати про ліву, а отже і про число . Оскільки, та діляться на три, в них є спільний дільник, тому не є повністю скороченим дробом, що заперечує початкове припущення.

Див. також Квадратний корінь з двох Ірраціональні числа Математичні константи

Джерела

Примітки