Симпліційна категорія (також симплекс-категорія, ординальне категорія) — категорія непустих скінченних ординалів, морфізмами в якій є монотонні функції. Відіграє важливу роль в алгебричній топології , є основною для таких конструкцій, як симпліційні об'єкти і симпліційні множини.
Позначається , іноді — Як часто також позначається категорія всіх лінійно впорядкованих множин, в якій симпліційна категорія є повною підкатегорією .
Означення Об'єктами симпліційної категорії мають вид , де — натуральне число, а морфізмами відображення такі, що з випливає . Іншими словами, об'єктами симпліційної категорії є скінченні порядкові числа, а морфізмами — нестрого монотонні функції між ними. Порядкове число є початковим об'єктом категорії, а — термінальним.
Властивості Будь-який морфізм симпліційної категорії може бути породжений композицією морфізмів (): , , заданих як: (зростаюче ін'єктивне відображення, що «пропускає» ), (неспадне сюр'ективне відображення, що приймає значення двічі).
Більш того, для будь-якого існує єдине подання: , де , , .
Ці морфізми задовольняють співвідношення: , якщо , , якщо ,
Дані співвідношення однозначно визначають морфізми і .
Пов'язані означення Порядкове додавання — біфунктор , заданий на порядкових числах як звичайне додавання: , а для морфізму і за наступною схемою: .
Симпліційна категорія з порядковим додаванням утворює строго моноїдальну категорію.
У застосування також використовується поповнена симпліційна категорія () — симпліційна категорія, доповнена ордіналом : . Іноді доповнену симпліційну категорію називають алгебричною симпліційною категорією, в цьому випадку називають топологічною.
Геометричне представлення Для об'єктів категорії існує геометричне представлення за допомогою коваріантного функтора образами якого є стандартні симплекси рівні за означенням і морфізм , породжений морфізмом задається як
Інакше кажучи, образом i-ї вершини є -вершина симплекса , а для всіх інших точок відображення продовжується лінійно по барицентричних координатах.
Тоді відображення переводить у i-ту грань симплекса , а переводить у стискуючи j-ту і j+1 точки в одну точку.
Симпліційні і косимпліційні об'єкти Симплектичним об'єктом категорії називається довільний контраваріантний функтор . Аналогічно коваріантний функтор називається косимпліційним об'єктом.
Симпліційний об'єкт можна повністю задати визначивши для кожного об'єкт (що називається n-м шаром, або n-ю компонентою симплектичного об'єкта ) і морфізми (оператор граней) ((оператор виродження)).
Тоді симпліційний об'єкт можна ототожнити із системою , де — об'єкти категорії і морфізми і задовольняють співвідношення:
, якщо , , якщо , . За допомогою двоїстості у такий же спосіб можна задати і косимпліційні об'єкти.
Симпліційні відображення
Симпліційним відображенням (між двома симпліційними об'єктами однієї категорії) називається довільний морфізм функтора в функтор , тобто така система морфізмів , для якої виконуються співвідношення , для , , для .
Симпліційною гомотопією що зв'язує симпліційні відображення симпліційних об'єктів категорії , називається сім'я морфізмів категорії, що задовольняють співвідношення:
, , , .
Симпліційні об'єкти категорії і їх симпліційні відображення утворюють категорію . З введеними вище означеннями у цій категорії можна відтворити майже всю стандартну теорію гомотопій, що пояснює значення симпліційної категорії і симпліційних об'єктів в алгебричній топології.
Примітки
Див. також Абстрактний симпліційний комплекс Симпліційна множина Транзитивне відношення Ергодичність Триангульована категорія
Література