Порядкове число (трансфінітне число, ординал) — в теорії множин, узагальнення натурального числа відмінне від цілих чисел та кардинальних чисел. Введені Георгом Кантором в 1897 для класифікації цілком впорядкованих множин. Відіграють ключову роль в доведенні багатьох теорем теорії множин, особливо разом з пов'язаним з ними принципом трансфінітної індукції.
Означення Одне з сучасних формулювань визначення трансфінітних чисел по фон Нейману: Множина називається ординалом, якщо вона транзитивна (тобто кожен її елемент є одночасно її підмножиною) і цілком впорядкована відношенням належності .
Властивості — ординал. Його також позначають як 0. Якщо — ординал, то кожен елемент — ординал. Якщо — ординал, то — ординал. Його позначають як . Не для кожного ординала існує ординал такий, що . Ординали, які не можна представити як суму іншого ординала й одиниці, називають , решту — неграничними. (Утім, зазвичай також вважають неграничним, хоча є різні тлумачення.) Скінченні ординали (як і скінченні кардинали) збігаються з натуральними числами (тут під множиною натуральних чисел мається на увазі , тобто включаючи нуль). Множині натуральних чисел відповідає найменший нескінченний ординал та найменший нескінченний кардинал . Існує тільки один зліченний кардинал , на відміну від незліченної множини зліченних ординалів {ω, ω+1, ω+2, …, ω·2, ω·2+1, …, ω², …, ω³, …, ωω, …, ωωω, …, ε0, …} Множина всіх зліченних ординалів є першим незліченним ординалом , якому відповідає кардинал . Довільна множина ординалів цілком упорядкована відношенням , при цьому — найменший елемент довільної множини ординалів, — ординал, не менший за довільний ординал . Не існує множини всіх ординалів. Сукупність ординалів є класом.
Арифметика ординалів Додавання не комутативне, зокрема: не дорівнює , тому, що . Додавання асоціативне: .
Див. також Кардинальне число
Література
Бурбаки Н. Основные структуры анализа. Теория множеств. — М.: Мир, 1965 462 с.