Но́рма — відображення елементів скінченного розширення L поля K в початкове поле K, що визначене таким чином:
Якщо L/K — скінченне розширення (воно буде алгебраїчним розширенням) степеня n=[L:K]; тоді довільний елемент a ∈ L визначає лінійне перетворення L:
Цьому перетворенню в деякому базисі e1,e2...en відповідає матриця A:
(αe1, αe2 ... αen)=(e1,e2...en)*A. Визначник цієї матриці називається нормою елементу α. Оскільки для іншого базису даному відображенню відповідатиме подібна матриця A'=CAC-1 з тим же визначником det(A)=det(A'), то норма не залежить від вибраного базису. Вона позначається
Властивості норми
, зокрема є гомоморфізмом групи ненульових елементів поля L× в групу K×
Для полів M/L/K маємо: (транзитивність норми) Якщо L=K(α) і f(x)=xn+an-1xn-1+...+a1x+a0 — мінімальний многочлен, для α то . Тобто, якщо — всі корені цього многочлена, то
Вираз норми через гомоморфізми L над K
Нехай σ1,σ2...σm — всі гомоморфізми L в алгебраїчне замикання поля K, що залишають нерухомими всі елементи K. Якщо L є сепарабельним то m рівне степеню [L:К]=n . Тоді для норми існує наступний вираз:
Якщо L є несепарабельним тобто m≠n — степені [L:K], в цьому випадку n кратно m, причому частка є деяким степенем характеристики p.
Тоді
Приклад
Нехай — поле дійсних чисел, — поле комплексних чисел, що розглядається як розширення . Тоді норма елементу a+bi буде рівна a²+b² Норма елементів розширення поля задається так: für . Норма елементів розширення поля задається так:
Література