Теоре́ма Радо́на — Ніко́дима в функціональному аналізі і суміжних дисциплінах описує загальний вид міри, абсолютно неперервної щодо іншої міри.
Формулювання
Нехай — простір з мірою і міра є -скінченною. Тоді якщо міра є абсолютно неперервною відносно , то існує вимірна функція , така що
де інтеграл розуміється в сенсі Лебега. Якщо є іншою функцією, що задовольняє твердження теореми, то .
Для зарядів і комплексних мір Нехай — простір з мірою і міра є -скінченною і є -адитивним зарядом або комплексною мірою і тобто є абсолютно неперервним щодо то існує -вимірна дійсно- чи комплекснозначна функція на така, що для кожної вимірної множини
Якщо є іншою функцією, що задовольняє твердження теореми, то .
Пов'язані визначення
Функція , існування якої гарантується теоремою Радона — Нікодима, називається похідною Радона — Нікодіма міри щодо міри . Пишуть:
Якщо — -вимірний векторний простір з борелівською σ-алгеброю — розподіл деякої випадкової величини , а — міра Лебега на , то похідна Радона — Нікодима міри щодо міри називається щільністю розподілу випадкової величини .
Властивості
Нехай — -скінченні міри, визначені на одному і тому ж просторі з мірою . Тоді якщо і , то
Нехай . Тоді — майже всюди. Нехай і — вимірна функція, інтегрована щодо міри , то
Нехай і . Тоді
Нехай — заряд. Тоді
Припущення σ-скінченності
У випадку якщо міра не є σ-скінченною тоді твердження теореми не виконується. Для прикладу можна розглянути борелівську σ-алгебру на множині дійсних чисел. На даній σ-алгебрі можна задати міру , що рівна кількості елементів множини для скінченних множин і +∞ в іншому випадку. Визначена таким чином міра не є σ-скінченною, оскільки не всі борелівські множини є зліченними. Нехай — міра Лебега. — абсолютно неперервна відносно , оскільки єдина множина A нульової міри — пуста множина і тоді ν(A) = 0.
Якщо припустити, що теорема Радона — Нікодима справджується, то існує вимірна функція f, для якої:
для всіх борелівських множин. Нехай A — довільна одноелементна множина , A = {a}, і, використовуючи згадану вище рівність, одержується:
для всіх дійсних чисел a. Звідси функція f, і міра Лебега ν, є нульовими, що суперечить означенню міри Лебега.
Доведення Нижче подані два доведення перше із яких використовує стандартні методи теорії міри, зокрема властивості (-адитивних) зарядів. Ключову роль у ньому відіграє теорема Гана про розклад мір і розклад Жордана. Друге використовує той факт, що класи еквівалентності інтегровних у квадраті функцій утворюють гільбертів простір і властивості гільбертових просторів, зокрема теорему Ріса.
Доведення методами теорії міри Ідея доведення полягає у тому, що спершу для скінченних мір і розглядаються функції для яких . Теорема доводиться із використанням супремуму таких функцій і теореми Леві промонотонну збіжність. Після доведення твердження для скінченних мір воно легко узагальнюється на σ-скінченні міри, заряди і комплексні міри.
Доведення для скінченних мір Нехай і є скінченними невід'ємними мірами і позначає множину вимірних функцій для яких:
не є порожньою оскільки містить принаймні нульову функцію. Нехай і для вимірної множини позначимо підмножини:
Тоді
і тому також .
Якщо є послідовністю функцій для якої
то замінюючи на максимум перших функцій, можна припустити, що послідовність є зростаючою. Нехай є поточковою границею послідовності:
Згідно теореми Леві про монотонну збіжність:
для кожної і тому . Також за побудовою
Оскільки , то функція множин задана як
є невід'ємною мірою на . Необхідно довести, що .
Якщо припустити, що , то оскільки є скінченною мірою, існує для якого . Розглянемо заряд і його додатну множину із розкладу Гана.
Тоді для довільної також , і тому
де є характеристичною функцією множини . Також адже якщо , тоді із того, що є абсолютно неперервним щодо і випливає, що і
де є від'ємною множиною із розкладу Гана.
Остання нерівність суперечить тому, що .
Оскільки також
то і
Ця нерівність є неможливою і тому припущення, що є хибним і .
Оскільки є -інтегровною, то множина має -міру рівну нулю. Тому функція визначена як
є дійснозначною функцією, що задовольняє умови теореми Радона — Нікодима.
Нехай є двома вимірними функціями для яких
для кожної вимірної множини . Тоді є -інтегровною і
Зокрема для або. Звідси випливає, що
і тому -майже сюди; таке ж твердження є вірним і для і тому -майже всюди.
Доведення для -скінченних мір Якщо і є -скінченними, то можна записати як диз'юнкте об'єднання множин із , кожна із яких має скінченну міру у і . Для кожного числа із доведеного скінченного випадку існує -вимірна функція для якої
для кожної -вимірної підмножини із . Сума тоді є необхідною функцією для якої .
Оскільки кожна із функцій є єдиною з точністю до множин -міри нуль, то і є єдиною з точністю до множин -міри нуль.
Доведення для зарядів і комплексних мір Якщо є -скінченним -адитивним зарядом, то для нього існує розклад Жордана де одна із мір є скінченною. Застосовуючи теорему Радона — Нікодима до цих мір одержуються функції , принаймні одна з яких є -інтегровною. Функція задовольняє умови теореми, зокрема і єдиність з точністю до множин -міри нуль.
Якщо є комплексною мірою то її можна записати як , де і є скінченними -адитивними зарядами. Тому із попереднього одержуються функції, , які задовольняють твердження теореми для зарядів і , відповідно. Функція тоді задовольняє твердження теореми Радона — Нікодима для комплексних мір.
Доведення методами функціонального аналізу Тут доводиться випадок скінченних невід'ємних мір. Перехід на інші випадки аналогічний попередньому доведенню.
Нехай є сумою мір. Тоді для будь-якої невід'ємної вимірної функції
Простір всіх інтегровних у квадраті функцій щодо міри із відношенням еквівалентності яке ідентифікує функції які набувають різних значень лише на множині -міри нуль є гільбертовим простором. Для функції тоді згідно нерівності Коші — Буняковського для гільбертових просторів:
Оскільки є скінченним, то є обмеженим лінійним функціоналом на просторі Згідно теореми Ріса, існує такий елемент , що лінійний функціонал є рівний скалярному добутку на цей елемент, тобто
Якщо для довільної вимірної множини зокрема взяти за характеристичну функцію множини , то із того, що випливає нерівність
Оскільки ці нерівності виконуються для всіх вимірних множин , то також і майже скрізь на щодо міри . Дійсно, якщо б це було не так, то оскільки множина є об'єднанням зліченної кількості відкритих інтервалів і то хоча б для одного такого інтервалу або Якщо це справедливо для першого типу інтервалів, то позначивши тоді
що суперечить нерівностям вище для довільного . Аналогічно для другого типу інтервалів позначивши тоді
що, знову ж, суперечить згаданим нерівностям.
Можна змінити функцію на множині -міри нуль щоб нерівності виконувалися на всьому просторі . Із попередніх рівностей випливає, що для всіх
Якщо позначити і , то із останньої рівності для випливає, що і відповідно .
Із обмеженості функції випливає, що . Підставивши цю функцію у рівність інтегралів одержується рівність
Для усіх точок із функції монотонно зростають до одиничної функції, а на множині усі функції є рівними нулю. Звідси із використанням теореми Леві про монотонну збіжність
.
Послідовність функцій поточково монотонно прямує до невід'ємної вимірної функції і з використанням теореми про монотонну збіжність і остаточно для всіх вимірних множин
Якщо у цій формулі взяти всю множину то одержується єдиним чином визначений елемент який задовольняє умови теореми. Всі функції, що задовольняють умови теореми відповідно належать вказаному класу еквівалентності і між собою відрізняються лише на множині -міри нуль.
Доведення теореми Лебега Позначення і схему цього доведення можна використати для доведення теореми Лебега про розклад міри. У вказаному доведенні можна розглядати міру , функцію , множини і навіть якщо міра не є абсолютно неперервною щодо . У цьому випадку також але звідси не обов'язково випливає, що .
Тоді можна розглянути міри і . Міри і є сингулярними, а для можна як і у доведенні знайти функцію для якої Зокрема є абсолютно неперервною щодо і відповідно існує розклад міри на суму двох мір одна з яких є сингулярною, а інша — абсолютно неперервною щодо міри , що і є твердженням теореми Лебега для скінченних мір.
Якщо і є -скінченними, то можна записати як диз'юнкте об'єднання множин із , кожна із яких має скінченну міру у і . Тоді обмеження і на кожну підмножину є скінченними мірами і на цій підмножині можна ввести міри і . Разом із зліченної адитивності ці міри визначаються на всьому просторі і перша з них буде сингулярною, а друга — абсолютно неперервною щодо міри .
Див. також Абсолютна неперервність Відстань Кульбака — Лейблера Заряд (теорія міри) Теорема Гана про розклад Теорема Лебега про розклад міри
Джерела
Халмош П. Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953