Вимірні функції — певний клас функцій заданих на множинах з мірою. Широко використовуються в теорії міри і теорії ймовірностей.
Визначення
Нехай і дві множини з визначеними алгебрами підмножин. Тоді функція називається -вимірною, або просто вимірною, якщо повний прообраз довільної множини із належить , тобто
де повний прообраз множини .
Замітка Якщо и — топологічні простори, і алгебри і явно не вказані, то вважається, що це борелівські σ-алгебри відповідних просторів.
Дійснозначні вимірні функції
Нехай задана функція . Тоді справедливі такі визначення: Функція вимірна, якщо . Функція вимірна, якщо , таких що , маємо , де позначає довільний інтервал, відкритий, напіввідкритий чи замкнутий. Якщо є невід'ємною дійснозначною функцією то вона є вимірною тоді й лише тоді коли вона є поточковою границею деякої поточково неспадної послідовності невід'ємних простих вимірних функцій.
Пов'язані визначення
Нехай і — дві копії дійсної прямої разом з борелівською σ-алгеброю. Тоді вимірна функція називається борелівською. Вимірна функція , де — множина елементарних подій, а — σ-алгебра випадкових подій, називається випадковим елементом.
Приклади
Нехай — неперервна функція. Тоді вона вимірна відносно борелівської σ-алгебри на числовій прямій. Нехай і — індикатор множини Тод функція не є вимірною.
Властивості вимірних функцій
Сума і добуток вимірних функцій є вимірними функціями. Супремум зліченної множини дійснозначних вимірних функцій є вимірною функцією. Поточкова границя послідовності вимірних функцій є вимірною функцією.
Джерела