Борелівська сигма-алгебра — це мінімальна сигма-алгебра, така, що містить всі відкриті підмножини топологічного простору (відповідно, вона містить і всі замкнуті). Елементи даної сигма-алгебри називаються борелівськими множинами.
Якщо не обумовлене протилежне, як топологічний простір виступає множина дійсних чисел.
Борелівська сигма-алгебра зазвичай виступає в ролі сигма-алгебри випадкових подій ймовірнісного простору.
У борелівській сигма-алгебрі на прямій або на відрізку міститься велика кількість «простих» множин: всі інтервали, напівінтервали, відрізки і їх злічені об'єднання. Алгебра була названа на честь Бореля.
Спорідненні поняття Функція Бореля — відображення одного топологічного простору в інший (зазвичай обидва є просторами дійсних чисел, для якого прообраз будь-якої борелівської множини є борелівська множина).
Властивості Всяка борелівська множина на відрізку є вимірною щодо міри Лебега, але зворотне невірно.
Приклад вимірної за Лебегом, але не борелівської множини Розглянемо функцію на відрізку , де — функція Кантора. Міра образу множини Кантора рівна , а значить, міра образу її доповнення також рівна . Функція монотонна, значить, вона вимірна і існує обернена до неї функція. Оскільки міра образу канторової множини ненульова, в ній можна знайти невимірну множину . Тоді образ при відображенні буде вимірним (оскільки він лежить в канторовій множині, міра якої нульова), але не буде борелівською (оскільки інакше була б вимірною як прообраз борелівської множини при вимірному відображенні).
Джерела