За́мкнута множина́ — підмножина простору, доповненням до якої є відкрита множина.
Означення
Нехай дано топологічний простір . Множина називається замкнутою відносно топології , якщо існує відкрита множина така що
Приклади
Весь простір , а також порожня множина завжди замкнуті. Інтервал замкнутий в стандартній топології на дійсній прямій, бо його доповнення відкрите. Множина замкнута в просторі раціональних чисел , але не замкнута в просторі всіх дійсних чисел .
Властивості
Із аксіом означення топології випливає: перетин будь-якого набору замкнутих множин є замкнутою множиною об'єднання скінченної кількості замкнутих множин є замкнутою множиною Інші властивості: множина може бути ні замкнутою ні відкритою одночасно, як наприклад напіввідкритий інтервал в , (при стандартній топології на ) множина може бути і відкритою і замкнутою водночас — такими є всі підмножини в дискретній топології (де топологія — набір всіх підмножин даної множини)
Див. також Відкрита множина Замикання (топологія)
Джерела