У теорії ймовірностей та статистиці умо́вна диспе́рсія () — це дисперсія випадкової величини за заданого значення (значень) однієї чи кількох інших змінних. Зокрема, в економетрії умовна дисперсія також відома як скедасти́чна фу́нкція (). Умовні дисперсії є важливими складовими моделей авторегресійної умовної гетероскедастичності (АРУГ, ).
Визначення Умовну дисперсію випадкової величини Y за заданої іншої випадкової величини X визначають як
Умовна дисперсія показує, яка частина дисперсії залишається, якщо для «передбачення» Y використовувати . Тут, як зазвичай, позначає умовне математичне сподівання Y за заданого X, яке, нагадаємо, саме є випадковою величиною (функцією від X, визначеною з точністю до рівності майже напевно). Отже, також є випадковою величиною (і функцією від X).
Пояснення та зв'язок із методом найменших квадратів
Нагадаємо, що дисперсія — це математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини (наприклад, Y) від її математичного сподівання. Математичне сподівання можна розглядати як обґрунтоване передбачення результатів випадкового експерименту (зокрема, математичне сподівання є найкращим сталим передбаченням, якщо передбачення оцінюють за математичним сподіванням квадрата похибки передбачення). Отже, одне з тлумачень дисперсії полягає в тому, що вона задає найменше можливе математичне сподівання квадрата похибки передбачення. Якщо відоме значення іншої випадкової величини (X), яке можна використати для передбачення Y, то ці відомості потенційно дають змогу зменшити математичне сподівання квадрата похибки. Виявляється, що найкращим передбаченням Y за заданого X є умовне математичне сподівання. Зокрема, для будь-якої вимірної функції
Якщо обрати , другий, невід'ємний доданок дорівнюватиме нулю, що й доводить твердження. У другій рівності використано закон повного математичного сподівання. Також бачимо, що математичне сподівання умовної дисперсії Y за заданого X є незвідною похибкою передбачення Y, якщо для передбачення відоме лише X.
Окремі випадки та варіації
Обумовлення дискретними випадковими величинами Коли X набуває з додатною ймовірністю зліченної множини значень , тобто є дискретною випадковою величиною, для будь-якого x із S можна ввести — умовну дисперсію Y за умови, що X=x, таким чином:
де, нагадаємо, — це умовне математичне сподівання Z за умови, що X=x, яке коректно визначене для . Альтернативним позначенням є
Зауважимо, що тут для кожного можливого значення x визначає сталу; зокрема, не є випадковою величиною.
Зв'язок цього визначення з такий. Нехай S визначено, як вище, і задамо функцію як . Тоді майже напевно.
Визначення за допомогою умовних розподілів «Умовне математичне сподівання Y за умови X=x» можна також визначити загальніше за допомогою умовного розподілу Y за заданого X (у цьому випадку він існує, оскільки тут і X, і Y є дійснозначними).
Зокрема, нехай — умовний розподіл Y за заданого X, тобто (мається на увазі, що майже напевно на носії X). Тоді можна визначити
Це визначення, звісно, можна пристосувати до випадку, коли Y сама дискретна (замінивши інтеграли сумами), а також до випадку, коли існує умовна густина Y за умови X=x відносно деякого базового розподілу.
Складові дисперсії стверджує, що
Іншими словами, дисперсія Y дорівнює сумі математичного сподівання умовної дисперсії Y за заданого X і дисперсії умовного математичного сподівання Y за заданого X. Перший доданок характеризує мінливість, що залишається після «використання X для передбачення Y», тоді як другий характеризує мінливість середнього передбачення Y, зумовлену випадковістю X.
Див. також Змішана модель
Примітки
Література
§ 2.5.3. Властивості умовного математичного сподівання. с. 192. § 26. Дисперсія. с. 155.